Soal-soal Olimpiade Matematika Dan Penyelesaiannya

Oleh Puji Nuniastuti

21 tayangan
Bagikan artikel

Transkrip Soal-soal Olimpiade Matematika Dan Penyelesaiannya

SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA
DAN PENYELESAIANNYA
1. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b berlaku a 2 + b 2 ≥ 2ab !

Bukti :
( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
2. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 berlaku

Bukti :

(

a−

b

)

2

≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔

a+ b

2

a+ b

2

ab !

ab

a+ b
≥ ab dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean
2
sedangkan GM singkatan Geometric Mean.

Catatan : Bentuk

3. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku

Bukti :
a+ b+ c+ d
=
4

a+ b c+ d
+
2
2 ≥
2

ab + cd

2

a+ b+ c+ d

4

ab cd =

4

abcd !

abcd

4. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dan c dengan a ≥ 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0 berlaku

a+ b+ c 3
≥ abc
3
Bukti :
a+ b+ c
= x ⇔ a + b + c = 3x dan 3 abc = y ⇔ abc = y 3
Misal
3
a+ b c+ x
+
a
+
b
+
c
+
x
Maka
2
2 ≥  a + b   c + x  ≥
=
ab cx =
4
2
 2   2 
3x + x 4 3
≥ y x ⇔ x4 ≥ y3 x ⇔ x ≥ y
Karena a + b + c = 3 x maka
4

4

abcx =

5. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c berlaku ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc !

Bukti :
b+ c

2
c+ a

2
a+ b

2

bc ....(1)
ca ....(2)
ab ....(3)

 b+ c  c+ a  a+ b

 
 ≥
Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : 
 2  2   2 
Atau ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc

a 2b 2c 2 = abc

4

y3 x

6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa a +

1
≥ 0 !
a

Bukti :
2

1 
1
1

 a−
 ≥ 0 ⇔ a− 2+ ≥ 0 ⇔ a+ ≥ 2
a
a
a

7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa

a b
+ ≥ 2!
b a

Bukti :

( a − b) 2 ≥

0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔

a b
+ ≥ 2
b a

8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka ab ≤

1
!
2

Bukti :
Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :
1
≥ 1 ....(1)
a
1
≥ 1 ....(2)
b
1 1
a+ b
1
≥ 2 ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥ 2ab ⇔ ab ≤
Jika (1) + (2) maka + ≥ 2 ⇔
a b
ab
2
9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd !

Bukti :
a b
c d
+ ≥ 2 ....(1) dan
+ ≥ 2 ....(2)
b a
d c
Jika (1) + (2) didapat :
a b c d
a d c b
+ + + ≥ 4 ⇔
+ + + ≥ 4
b a d c
b c d a
a 2cd + abd 2 + abc 2 + b 2cd
≥ 4 ⇔ ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd
abcd
x2
1
10. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
!

4
1+ x
2
Bukti :

(x

2

− 1) 2≥ 0 ⇔

x4 − 2 x2 + 1 ≥ 0 ⇔

x4 + 1 ≥ 2x2

11. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa

Bukti :
x4 ≥ 0 ⇔


(x

2

2

(

)

2

12. Hitunglah nilai dari :
1 1
1
1
1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 +
1 2
2
3
Jawab :
1
1
1+ 2 +
=
n
( n + 1) 2



x2 + 1

(x

x4 + 4x2 + 4 ≥ 4x2 + 4 ⇔

+ 2) ≥ 2 x 2 + 1

x2 + 2

2

≥ 2!

+ 2) ≥ 4( x 2 + 1)
2

x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔

1+

1
1
+ 2 + ...... +
2
3
4

n 2 (n + 1) 2 + ( n + 1) + n 2
=
n 2 (n + 1) 2
2

x2
≥ 2
1 + x4



1+

x2 + 2
x2 + 1

≥ 2

1
1
+
2
2004
20052

n 2 (n 2 + 2n + 1) + (n 2 + 2n + 1) + n 2
(n(n + 1)) 2

n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1
(
n 2 + n + 1)
n2 + n + 1
1
1
=
=
= 1+ 2
= 1+
2
2
2
n + n
n + n
n(n + 1)
( n(n + 1) )
( n(n + 1) )
1
1
=1 + −
n n+ 1
1 1
1
1
1
1
1
1
Jadi 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 +
+
2
1 2
2
3
3
4
2004
20052
1 1 
1 1 
1 1
1
1 




=  1 + −  +  1 + −  +  1 + −  + ..... +  1 +
1 2 
2 3 
3 4
2004 2005 


1 
2004
2004

= 2004
 = 2004 +
= (1 + 1 + 1 + .... + 1) +  1 −
2005 
2005
2005

2

=

13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e= 19 dan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 99

tentukan nilai maksimumz !
Jawab :
(19 − e) 2= ( a + b + c + d ) 2
361 − 38e + e 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 = 99 − e 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + a 2 + b 2 + a 2 + c 2 + a 2 + d 2 + b 2 + c 2 + b 2 + d 2 + c 2 + d 2
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2
361 − 38e + e 2 ≤ 396 − 4e 2
5e 2 − 38e − 35 ≤ 0
2144
38 + 2144
≤ e≤
10
10
38 + 2144
Jadi nilai maksimume =
10
Dengan rumus abc didapat

38 −

14. Jika 1+2+3+4+….+n= aaa, maka tentukan nilai n dan aaa !
Jawab :
n
1 + 2 + 3 + .... + n = (n + 1)
2
aaa = 111xa = (3xa) x37
n
(n + 1) = (3xa) x37
2
n (n + 1) = (6 xa) x37
Ini merupakan perkalian berurutan.
Jadi a = 6 dan n = 36
15. Jika aabb = (xy )

2

maka tentukan nilai dari a, b, x dan y !

Jawab :
Karena (xy ) 2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.
Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99
Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)
Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb = 44
aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7
aabb = 7744= 882
Sehingga a = 7, b = 4, x = 8 dan y = 8

3
3
3
3
16. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .... + n =

1 2
1

n ( n + 1) 2 =  n(n + 1)
4
2


2

Bukti :
Dibuktikan dengan induksi matematika.
1
2
3
Untukn = 1 maka 1 =  .1(1 + 1) benar
2

1

3
3
3
3
Misal untukn = k benar maka 1 + 2 + 3 + .... + k =  k (k + 1) 
2

3
3
3
3
3
Untukn = k + 1 maka 1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1)
1

=  k (k + 1) 2 + (k + 1) 3
2


2

1

= ( k + 1) 2 k 2 + k + 1
4

1
= (k + 1) 2(k 2 + 4k + 4)
4
1
= (k + 1) 2(k + 2) 2
4
1

=  ( k + 1) ( k + 2 )  2
2

17. Jika 20043 = A2 − B 2 dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B !

Jawab :
1

13 + 23 + 33 + .... + (n − 1) 3+ n3 =  n(n + 1) 2
2

1
 2 3 1
2
 2 (n − 1)n  + n =  2 n(n + 1) 




1
 1

n3 =  n(n + 1) 2 −  (n − 1)n  2
2
 2

1

1

20043 =  .2004.2005 2 −  .2003.2004 2
2

2

= (1002.2005) 2 − (1002.2003) 2
Jadi A = 1002.2005dan B = 1002.2003
18. Jika A = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + .... + 20053 , maka tentukan nilai A !

Jawab :
(13 + 23 + 33 + .... + 20053 ) − 2(23 + 33 + .... + 20043 )

= (13 + 23 + 33 + .... + 20053 ) − 2.23 (13 + 23 + 33 + .... + 10023 )
1
1

=  .2005.2006  2 − 16( .1002.1003) 2
2
2

2
2
= 1003 (2005 − (4.501) 2 )
= 10032 (20052 − 2004 2 )
= 10032 (2005 + 2004)(2005 − 2004)
= 10032.4009

19. a1 , a2 , a3 ,...., an adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2 a1 + 2 a 2 + 2 a3 + .... + 2a n = 2005 maka

tentukan nilai dari a1 + a2 + a3 + .... + an !
Jawab :
2005 = 111110101012
2005 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 0 + 24 + 0 + 2 2 + 0 + 20
a1 + a2 + a3 + .... + an = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 + 2 + 0 = 46

20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :
x + y + z = t .... (1)
1 1 1 1
+ + =
.... (2)
x y z t
x 3 + y 3 + z 3 = 10003 .... (3)
Tentukan nilai dari x + y + z + t
Jawab :
1 1 1 xy + xz + yz 1
+ + =
=

x y z
xyz
t

xy + xz + yz =

xyz
t

(x +

y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) − 3 xyz
xyz
t 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3t.
− 3xyz
t
x 3 + y 3 + z 3 = t 3 = 10003 → t = 1000
x + y + z + t = t + t = 2t = 2000
ex
21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f ( x) = x
.
e + e
1
2
2004
)+ f(
) + ... + f (
)
Tentukan nilai dari f (
2005
2005
2005
Jawab :
ex
e1− x
e + e x e + e + e1− x e
2e + e x e + e1− x e
f ( x) + f (1 − x) = x
+ 1− x
= x 1− x
=
=1
e + e e + e e e + e x e + e1− x e + e 2e + e x e + e1− x e
1
2004
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
2
2003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
.....
.....
1002
1003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
+
= 1002

22. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :
i.
a 3 − 3ab 2 = 44
ii.
b 3 − 3a 2b = 8
Tentukan nilai a 2 + b 2 !
Jawab :
a 3 − 3ab 2 = 44 ⇒ (a 3 − 3ab 2 ) 2 = 44 2 ⇔ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 1936
b 3 − 3a 2b = 8



(b

3

− 3a 2b ) 2 = 82



b 6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 64
+

a + 3a b + 3a b + b = 2000
6

(a

2

4 2

2 4

+ b 2 ) 3= 2000 ⇔

6

a 2 + b2 =

3

2000 = 103 2

23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiridari 4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd
+ 1 = (ac + 1)(bd + 1) !
Jawab :
abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)
1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)
= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1
990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0
(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0
100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0
Jadi : b = d = c = 9
a = 1, 2, 3, …., 9
Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999
24. Tentukan nilai dari

3
4
5
2005
+
+
+ .... +
1
2
3
1x 2 x 2 2 x3x 2
3x4 x2
2003 x 2004 x 22003

Jawab :
k+ 2
a
b
a (k + 1) − kb (a − b)k + a
= k − k
=
=
k
k .(k + 1).2
2 .k 2 .(k + 1)
k (k + 1).2 k
k (k + 1).2 k
jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1
2
1
1   2
1 
2
1
 2


( k − k
=  1 − 1  +  2 − 2  + .... +  2003
− 2003

2003
2 .k 2 .(k + 1)  2 .1 2 .2   2 .2 2 .3 
 2 .2003 2 .2004 
∑k = 1
1
= 1 − 2003
2 .2004
2
2
25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy + x + y = 71 dan x y + xy = 880 maka

tentukan nilai x 2 + y 2 !
Jawab :
Misal xy = a dan x + y = b maka :
xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1)
x 2 y + xy 2 = 880 ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)
Dari (1) dan (2) didapat :
i. b = 55 dan a = 16 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 552 − 2.16 = 2993
ii.
b = 16 dan a = 55 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 162 − 2.55 = 146
26. Tentukan nilai A2 dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :

x=

19 +

91
19 +

91
19 +

91
19 +

9
x

Jawab :
x=

91

x
19 ± 383
2

19 +

x1.2 =
A=

x 2 − 19 x − 91 = 0

19 + 383
+
2

19 − 383
=
2

19 + 383
+
2

383 − 19
=
2

383

A2 = 383
1

27. Didefinisikan f (n) =

n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 − 1 +
nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) !
Jawab :
x− y =

3

3

x −

3

3

3

y =

(

3

x−

y

3

)(

3

x2 +

3

xy +

Misal :
x 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2



x = n+ 1

y = n − 2n + 1 = ( n − 1)



x = n− 1

2

2

2

xy = (n + 1)(n − 1) = n − 1 ⇒
2

f ( n) =

1
3

x2 +

3

xy +

3

y2

=

3

(

n 2 − 2n + 1

3

)

y2 ⇔

untuk semua n bilangan asli. Tentukan

1
3

x2 +

=

3

xy +

3

y2

1000000 −

3

999999

3

x− 3 y
x− y

xy = n 2 − 1
x− 3 y
x− y

n+ 1− 3 n− 1 3 n+ 1− 3 n− 1
=
(n + 1) − (n − 1)
2
f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999)
3
2− 3 0 + 3 4− 3 2 + 3 6− 3 4 + 3 8−
=
2
0 + 100
= 50
=
2
f ( n) =

3

3

) (

) (

) (

3

)

6 + .... +

(

3

)

3
4
5
28. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhipersamaan x + y = z !

Jawab :
x3 = z 5 − y 4
Misal z = a 5 dan y = a 6 maka x 3 = a 25 − a 24 = a 24 (a − 1) ⇔
a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.
Misal a = 2 maka x = 28 3 2 − 1 = 256

x = a8

3

a− 1

z = 25 = 32
y = 26 = 64
n
n
n
n
29. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121 − 25 + 1900 − (− 4) selalu habis digai

2000!
Jawab :
2000= 125 x 16
Gunakan teori a n − b n habis dibagi a – b
121n − 25n + 1900n − (− 4) n
=

1900n − 25n + 121n − (− 4) n

habis dibagi 16 habis dibagi 16
habis dibagi 125 habis dibagi 125
n
n
n
n
Jadi 121 − 25 + 1900 − (− 4) habis dibagi 125 x 16 = 2000

30. Buktikan bahwa 1998+ 1999 x 2 2004 habis dibagi 7 !

Bukti :
1998+ 1999x 2 2004 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668
Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1 668 = 3 + 4 = 7
Jadi 1998+ 1999x 2 2004 habis dibagi 7
31. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga

x 3 + y 3 2006
=
x 3 + z 3 2005

Jawab :
x 3 + y 3 ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 )
=
x 3 + z 3 ( x + z ) ( x 2 − xz + z 2 )
Karena 2006dan 2005 relatif prima, maka diantara faktor-faktor pembilang dan penyebut harus ada
yang sama.
x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.
x 2 − xy + y 2 = x 2 − xz + z 2
y 2 − z 2 = xy − xz
( y − z )( y + z ) = x( y − z )
x= y+ z
x + y 2006
y + z + y 2006
=

=
x + z 2005
y + z + z 2005
2 y + z = 2006
 ⇒ y = 669 dan z = 668 sehingga x = y + z = 1337
2 z + y = 2005
32. Tentukan rumus untuk (1x1!) + (2 x 2!) + (3x3!) + ... + (n x n!) !

Jawab :
1x1!= [ (1 + 1) x1!] − (1x1!) = (2 x1!) − (1x1!) = 2!− 1!
2 x 2!= [ ( 2 + 1) x 2!] − (1x 2!) = (3 x 2!) − (1x 2!) = 3!− 2!
3 x3!= 4!− 3! dst
(1x1!) + (2 x 2!) + (3 x3!) + .... + (n x n!) = (2!− 1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + ... + ((n + 1)!− n!)
= − 1!+ (n + 1)!
= (n + 1)!− 1!= (n + 1)!− 1
a
1 1 1 1 1
1
= 1 − + − + − + .... −
dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkanbahwa
b
2 3 4 5 6
1336
a adalah kelipatan dari 2005!
Jawab :
1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 − + − + − + .... −
= (1 + + + ... +
) − 2( + + ... +
)
2 3 4 5 6
1336
2 3
1336
2 3
1336
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
) − (1 + + + ... +
)
2 3
1336
2 3
668
1
1
1
=
+
+ .... +
669 670
1336
 1
1   1
1 
1 
 1
 + 
= 
+
+
+
 + .... + 

 1002 1003 
 669 1336)   670 1335 

33. Diketahui

1336 + 669 1335 + 670
1003 + 1002
+
+ .... +
669.1336
670.1335
1002.1003
2005
2005
2005
=
+
+ .... +
669.1336 670.1335
1002.1003
1
1
1
= 2005(
+
+ .... +
)
669.1336 670.1335
1002.1003
Jadi kelipatan 2005.
=

x = 2+
34. Jika

3
2+

3
3

2+

2+

maka tentukan nilai x !
3
x

Jawab :
x = 2+

3
x



( x − 3)( x + 1) =

x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔

0 ⇒

x = 3 yang memenuhi.

12 22 32
10022
12 2 2 32
10022
+
+
+ .... +
dan b =
+
+
+ .... +
1 3
5
2003
3 5 7
2005
Tunjukkanbilangan bulat terdekat dari a – b !
Jawab :
12 22 32
1002 2
12 2 2 32
1002 2
a− b = ( +
+
+ .... +
)− ( +
+
+ .... +
)
1 3 5
2003
3 5 7
2005
 1002 2 10012  1002 2
12  22 12   32 22 
 + .... + 
 −
=
+ 
− +  −

1  3 3   5 5 
 2003 2003  2005

35. Diketahui a =

10022
+ (1 + 1 + 1 + ..... + 1)
2005
1002 2 1002(2005 − 1002) 1002.1003
= 1002 −
=
=
≈ 501
2005
2005
2005
= 1−

36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika

a c e
=
=
= 64 maka tentukan
b d
f

5a 2c − 4c 2e + e3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
Jawab :
a
= 64 ⇔ a = 64b
b
c
= 64 ⇔ c = 64d
d
e
= 64 ⇔ e = 64 f
f
5a 2c − 4c 2e + e3
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
=

643 (5b 2 d − 4d 2 f + f 3 )
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3

37. Diketahui A =

643 = 512

1



 . Tentukan nilai A !
k = 1  1 + 2 + 3 + ... + k 

2004



Jawab :
1 + 2 + 3 + .... + k =
2004

5(64b) 2 .64d − 4(64d ) 2 .64 f + (64 f )3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3

k ( k + 1)
2

1
∑k = 1 1 + 2 + 3 + ..... + k =

2004

2
∑k = 1 k (k + 1) =

2004

2
2

k+1
k=1 k



2 
2
4008
 2 2  2 2  2 2
 2
=  −  +  −  +  −  + ..... + 

=
 = 2−
2005 2005
 1 2  2 3  3 4
 2004 2005 

 1
 = 3 x dan x ≠ 0 maka tentukan penyelesaian untukf(x) = f(-x) !
 x

38. Jika f ( x) + 2 f 

Jawab :
1
f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ......(1)
x
1
3
⇒ f ( ) + 2 f ( x) = ....(2)
x
x
1
2 − x2
Jika f ( ) dihilangkan maka f ( x) =
x
x
2
2
2− x
2− x
f ( x) = f (− x) ⇒
=
⇒ x= ± 2
x
− x
39. Tentukan nilai dari x + y jika diketahui x + y +
3

3

x
x 2 + xy
= 19 dan
= 60 !
y
y

Jawab :
Misal x + y = a dan
x+ y+

x
= b maka :
y

x
= 19 ⇒ a + b = 19 atau a = 19 – b ……(1)
y

x 2 + xy
x
= 60 ⇔
( x + y ) = 60 ⇒ ab = 60.........(2)
y
y
Dari (1) dan (2) didapat :
i.
b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi x 3 + y 3 = 1755
3376
3
3
ii.
b=15dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4dan y = ¼ jadi x + y =
64
 x + y + xy = 11

40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan :  y + z + yz = 14
 z + x + zx = 19

Jawab :

11 − x
x+ 1
19 − x
x + zx = 19 ⇔ z =
x+ 1
11 − x 19 − x
z + yz = 14 ⇒
+
+
x+ 1
x+ 1
3 ⇒ y = 2, z = 4
− 5 ⇒ y = − 4, z = − 6

x + y + xy = 11 ⇔ y =
z+
y+
x=
x=

 11 − x   19 − x 
2


 = 14 ⇔ x + 2 x − 15 = 0
 x + 1  x + 1 

41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
x+ y+ z = 1
x2 + y 2 + z 2 = 2
x3 + y 3 + z 3 = 3
Maka tentukan nilai x 4 + y 4 + z 4 !
Jawab :
( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) ⇔
1
xy + xz + yz = −
2

12 = 2 + 2( xy + xz + yz )

(x +

y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( xy + xz + yz )( x + y + z ) − 3xyz
1
1
13 = 3 + 3(− ).1 − 3xyz ⇔ xyz =
2
6
2
2
2 2
4
4
4
2 2
( x + y + z ) = x + y + z + 2( x y + x2 z 2 + y 2 z 2 )

[

= x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( xy ) + ( xz ) 2 + ( yz ) 2
2

]

= x 4 + y 4 + z 4 + 2[ ( xy + xz + yz ) − 2 xyz ( x + y + z )]

 1
1 
2 2 = x 4 + y 4 + z 4 + 2  −  2 − 2. .1
6 
 2
1
x4 + y 4 + z 4 = 4
6
42. Diketahui f ( x ) = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 . Tulislah f(x) dalam bentuk
4

yang paling sederhana dan tentukan f(2005)!
Jawab :
4
4
3
2
x 4 = [ ( x + 3) − 3] = ( x + 3) − 4( x + 3) .3 + 6( x + 3) .32 − 4( x + 3).33 + 34
= ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81
4

= x4
f ( 2005) = 20054
43. Tentukan nilai x, y, z yang memenuhipersamaan

xy
1
= ,
x+ y 2

Jawab :
xy
1
x+ y
1 1
= ⇔
= 2⇔
+ = 2 ⇒ a + b = 2 ....(1)
x+ y 2
xy
x y
yz
1
y+ z
1 1
= ⇔
= 3⇔
+ = 3 ⇒ b + c = 3 ....(2)
y+ z 3
yz
y z
zx
1
z+ x
1 1
= ⇔
= 7⇔
+ = 7 ⇒ a + c = 7 ....(3)
z+ x 7
zx
x z
Dari (1), (2) dan (3) didapat :
1
1
a= 3= ⇔ x=
x
3
1
b = −1=
⇔ y = −1
y
1
1
c= 4= ⇔ z=
z
4



44. Tentukanlah nilai dari  1 −

1
1
1 
1 
  1 −   1 −  .... 1 −
 !
2
3
4 
2004 

Jawab :
1 2 3
2002 2003
1
. . .......
.
=
2 3 4
2003 2004 2004
45. Tentukan nilai dari

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
!
1.2 2.3 3.4
2004.2005

Jawab :
1
1
1
= −
k (k + 1) k k + 1

yz
1
= ,
y+ z 3

zx
1
=
z+ x 7

1 1  1 1
1 
1
1
1
1
 1 1
 1

+
+
+ ...... +

=  −  + ( − ) +  −  + ..... + 
2 3  3 4
1.2 2.3 3.4
2004.2005  1 2 
 2004 2005 
1
2004
= 1−
=
2005 2005
46. Tentukan nilai dari

1
+
1+ 2

1
+
2+ 3

1
+ .... +
3+ 4

1
!
9999 + 10000

Jawab :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
9999 + 10000
= − 1 + 2 + − 2 + 3 + − 3 + 4 + ..... + − 9999 + 10000 = − 1 +

(

) (

57
= a+
17
b+
47. Jika

) (

)

(

)

10000 = 99

1
1
1
c+
d+1

maka tentukan nilai a x b x c x d !

Jawab :
57
6
1
1
1
1
1
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
17
5
1
1
1
17
17
2+
2+
2+
2+
6
1
1
6
6
1+
1+
5
5
4+ 1
Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4
Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy
x + 2 y 2 y + 3z 3z + x
=
=
maka tentukan nilai dari
!
x2 + y 2 + z 2
6
10
8
Jawab :
10 x + 20 y = 12 y + 18 z ⇔ 5 x + 4 y − 9 z = 0 .......(1)
8 x + 16 y = 18 z + 6 x ⇔ x + 8 y − 9 z = 0 ........(2)
16 y + 24 z = 30 z + 10 x ⇔ 5 x − 8 y + 3z = 0 ........(3)
dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy 2005 ( x 2 + x 2 + x 2 )
=
= 2005
x2 + y 2 + z 2
x2 + x2 + x2

47. Jika

48. Diketahui:
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +

2 3 4 5
2003 2004
1
1
1
1
B=
+
+
+ ..... +
1003 1004 1005
2004
2
2
Maka hitunglah nilai dari A − B !
Jawab :
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +

2 3 4 5
2003 2004
1 1
1 
1 

1 1 1
=  1 + + + .... +
 − 2 + + + ..... +

2 3
2004 
2004 

2 4 6
1 1
1  
1 1
1 

=  1 + + + .... +
 −  1 + + + .... +

2 3
2004  
2 3
1002 

1
1
1
=
+
+ ...... +
1003 1004
2004
Jadi A = B maka A2 − B 2 = 0

50. Buktikan bahwa

1 1 1
1
+ + + ..... +
< 2 !
1! 2! 3!
2005!

Jawab :
1 1 1
1
1 1
1
1
+ + + ..... +
< 1 + 2 + 3 + .... + 2004 =
1! 2! 3!
2005! 2 2
2
2
2004

 1
 
 2
1
1−
2

1
(1 −
2

2004

)

 1
= 1−  
 2

2004

 1
 1
Karena  
> 0 maka 1 −  
<1
 2
 2
1 1 1
1
Jadi + + + ..... +
< 1+ 1 = 2
1! 2! 3!
2005!
51. Tentukan nilai dari

1
e

− 2005

+1

+

1
e

− 2004

+1

+ .... +

1
1
1
+ .... + 2004
+ 2005
2
e +1 e +1

Jawab :
1
1
e x + e− x + 2
+
=
=1
e− x + 1 e x + 1 e x + e− x + 2
1
1
1
1
1
+ − 2004
+ .... + + .... + 2004
+ 2005
− 2005
e
+1 e
+1
2
e +1 e +1
1
1  
1
1 
1

=  − 2005
+ 2005
+ 2004
 +  − 2004
 + ...... + 0
+ 1 e + 1  e
+ 1 e + 1
e +1
e
1
= 1 + 1 + 1 + ...... + 1 +
1+ 1
1
= 2005
2
52. Diketahuia, b, c, d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhipersamaan :
a + 4b + 9c + 16d = 52 ………….(1)
4a + 9b + 16c + 25d = 150 ………..(2)
9a + 16b + 25c + 36d = 800 ………(3)
Tentukan nilai dari 16a + 25b + 36c + 49d !
Jawab :
( n + 3) 2 − 3( n + 2) 2 + 3( n + 1) 2 − n 2 = 0

( n + 3) 2 = 3( n + 2) 2 − 3( n + 1) 2 + n 2
(1 + 3) 2 a = 3(1 + 2) 2 a − 3(1 + 1) 2 a + 12.a ⇔ 27a − 12a + a = 16a
( 2 + 3) 2 b = 3( 2 + 2) 2 b − 3( 2 + 1) 2 b + 22.b ⇔ 48b − 27b + 4b = 25b
Pers.(3) x3 ⇒ 27a + 48b + 75c + 108d = 2400
Pers.(2) x3 ⇒ 12a + 27b + 48c + 75d = 450
-

Persa.(1)x1⇒

15a + 21b + 27c + 33d = 1950
a + 4b + 9c + 16d = 52
+
16a + 25b + 36c + 49d = 2002

1+

2004
maka tentukan nilai dari :
2
a ) 4 x 3 − 2007 x − 2000

53.Jika x =

b) 4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003 x 2003

2004

Jawab :
1+
a) x =

2004
⇔ 4 x 2 = 4 x + 2003 ⇒ 4 x 3 = 4 x 2 + 2003 x
2
3
4 x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 + 2003x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 − 4 x − 2000
= 4 x + 2003 − 4 x − 2000 = 3

b) 4 x 2 − 4 x + 1 = 2004 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 2003 = 0

.x 2003

4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003x 2003 = 0

54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
1
+ a + b = 11
ab
2
a 2b 2 ( a + b ) = 61a 2b 2 − 1
1 1
Tentukan nilai dari +
!
a b
Jawab :
1
= x dan a + b = y
Misal
ab
1
+ a + b = 11 ⇒ x + y = 11 ......(1)
ab
1
61 x 2
a 2b 2 (a + b) 2 = 61a 2b 2 − 1 ⇒ 2 . y 2 = 2 − 2 ⇔ y 2 = 61 − x 2 .....(2)
x
x
x
Dari (1) dan (2) didapat :
1
1
i) x = 6 =
⇔ ab =
ab
6
y = 5= a+ b
1 1 a+ b 5
+ =
=
= 30
1
a b
ab
6
1
1
ii ) x = 5 =
⇔ ab =
ab
5
y = 6= a+ b
1 1 a+ b 6
+ =
=
= 30
1
a b
ab
5
55. Buktikan bahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlah angka-angkanya pasti kelipatan 9 !
Jawab :
abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 9b + b + 9c + c + d
= 999a + 99b + 9c + (a+ b + c + d)
= 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
a + b + c + d = abcd – 9(111a + 11b + c)
Karena abcd kelipatan 9 maka a + b + c + d kelipatan 9.
56. Diketahuibilangan asli berurutan a, b, c , d. buktikan bahwa ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 habis
dibagi 12
Jawab :
Hasil kali 2 bilangan asli berurutan pasti bilangan genap (kelipatan 2)
Misal a = x, b = x + 1, c = x + 2 dan d = x + 3
ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1
=x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1
=x 2 +x+x 2 +2x+x 2 +3x+x 2 +3x+2+x 2 +4x+3+x 2 +5x+6+1
=6x 2 +6x+12x+12

=6x(x+1)+ 12(x+1)
Karena x(x+1)kelipatan 2 maka 6x(x+1)kelipatan 12
Jadi soal kelipatan 12.
57. Buktikan bahwa semua bilangan asli yang terdiridari 6 digit angka berbentuk abcabc selalu habis dibagi
91 !
Bukti :
abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c
= 100100a + 10010b+ 1001c
= 1001x 100a + 1001x 10b + 1001c
= (91 x 11) x 100a + (91 x 11) x 10b + (91 x 11)c
Jadi abcabc habis dibagi 91.
58. Jika a, b, c bilangan real positif dan a + b + c = 1, buktikan bahwa (1 - a)(1 – b)(1 – c)≥ 8 abc !
Jawab :
a+ b+ c = 1
a + b = 1− c
b + c = 1− a
a + c = 1− b
a + b ≥ 2 ab ....(1)
b + c ≥ 2 bc ....(2)
a + c ≥ 2 ac ....(3)
Jika (1) x( 2) x (3) maka :

( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ 8 a 2b 2c 2
(1 − a ) (1 − b)(1 − c) ≥ 8abc
59. Jika A = 1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) maka tentukan rumus untuk nilai A
!
Jawab :
n
 i k− 1 
1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) = ∑  ∑ 2 
i= 1  k = 1

i
1(2 − 1)
Karena 1+2+4+…….⇒ Si =
= 2i − 1 maka :
2− 1
1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 )
n

=∑ 2 − 1 =
i

i= 1

n



n



i= 1



n

n

i= 1

i= 1
n

∑ 1= ∑

2i = 2 + 4 + 8 + ..... =

i= 1
n

2 −
i

2i − n

2(2 − 1)
= 2n + 1 − 2
2− 1

2i − 1 = 2n + 1 − 2 − n = 2n + 1 − (n + 2)

i= 1

60. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikan bahwa a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc !
Jawab :
a 2 + c 2 ≥ 2ac .b ⇒ a 2b + bc 2 ≥ 2abc ....(1)
b 2 + c 2 ≥ 2bc

.a ⇒ ab 2 + ac 2 ≥ 2abc ....(2)

a 2 + b 2 ≥ 2ab

.c ⇒ a 2c + b 2c ≥ 2abc ....(3)

Jika (1) + (2) + (3) maka a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc

61. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikutjika diketahui a, b, c, d bilangan real.
abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 …. (1)
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 …. (2)
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 …. (3)
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 …. (4)
Jawab :
Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat :
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2
(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 10
(a + 1)(c + 1)(d + 1) = 10
(a + 1)(b + 1)(d + 1) = 10
x
3
[ ( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1)] = 2000

( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1) =

103 2

2 (d + 1) = 103 2 ⇔ d = 53 2 − 1
10 (a + 1) = 103 2 ⇔ a =

3

2−1

10 (b + 1) = 103 2 ⇔ b =

3

2−1

10 (c + 1) = 10 2 ⇔ c =

3

2−1

3

62. Jika a dan b bilangan real dan

a a + 10b
a
+
= 2 maka tentukan nilai
!
b b + 10a
b

Jawab :
a
+ 10
a a + 10b
a b
 a
 a
+
= 2 ⇔
+
= 2 ⇔ 5   2− 9   + 4 = 0
b b + 10a
b 1 + 10 a
 b
 b
b
a 4
a
 a
 a
⇔  5 − 4  ( − 1) = 0 ⇒
= atau = 1
b 5
b
 b
 b
63. Jika a, b, c dan d real positif dan berlaku

a c
a a+ c c
<
<
maka buktikan bahwa <
b d
b b+ d d

Jawab :
ab + ad < ab + bc
ad + cd < bc + cd
a (b + d ) < b(a + c)
d (a + c) < c(b + d )
a a+ c
a+ c c
<
......(1)
< ........(2)
b b+ d
b+ d d
a a+ c c
Dari (1) dan (2) : <
<
b b+ d d
64. Buktikan bahwa untukn bilangan bulat maka n3 + 2n selalu habis dibagi 3 !
Jawab :
n3 + 2n = n(n 2 + 2) = n(n 2 − 1 + 3 = n(n 2 − 1) + 3n = (n − 1)n(n + 1) + 3n
Karena (n-1)n(n+1)merupakan 3 bilangan berurutan maka (n-1)n(n+1)habis dibagi 3, jadi n3 + 2n
habis dibagi 3.
65. Tentukan nilai x, y, z bilangan real yang memenuhipersamaan :
x 2 + 2 yz = x ....(1)
y 2 + 2 zx = y ....(2)
z 2 + 2 xy = z ....(3)

Jawab :
Jika pers (1) kali x, pers (2) kali y dan pers (3) kali z maka didapat :
x 3 + 2 xyz = x 2
y 3 + 2 xyz = y 2
z 3 + 2 xyz = z 2
Dengan mengeliminasi 2xyz maka didapat x = y = z
1
x 2 + 2 yz = x ⇒ x 2 + 2 x.x = x ⇒ x = = y = z
3
a b c
2003a + 2004b + 2005c
66. Jika a, b, c real positif sedemikian sehingga = =
tentukan nilai dari
b c d
3a + 2b + c
Jawab :
a b c
= =
maka a = b = c
b c d
2003a + 2004b + 2005c
2003a + 2004a + 2005a

= 1002
3a + 2b + c
3a + 2a + a
67. Buktikan bahwa untukn bilangan asli yang lebih dari 1 maka n5 − n habis dibagi 30 !
Jawab :
n5 − n = ( n − 1) n(n + 1)(n 2 + 1
(n-1)n(n+1)habis dibagi 6.
Bilangan yang habis dibagi 5 sellau berujung 5 atau 0.
n5 − n = n ( n 2 − n )(n 2 + 1)
Untukn = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selalu berujung 0 atau 5, jadi habis dibagi 5.
Sehingga n5 − n habis dibagi 6 x 5 = 30
68. Buktikan bahwa 1110 − 1 habis dibagi 100 !
Bukti :
1110 − 1 = (10 + 1)10 − 1 = 1010 + 10.109 + 45.108 + 120.107 + 210.106 + 252.105 + 210.10 4 +
120.103 + 45.102 + 10.101 + 1 − 1
Habis dibagi 100.
69. Tentukan nilai positif x, y, z dari persamaan :
2
log x + 4 log y + 4 log z = 2 ....(1)
3

log y + 9 log z + 9 log x = 2 ....(2)

log z + 16 log x + 16 log y = 2 ....(3)
Jawab :
2
log x + 4 log y + 4 log z = 2⇔ 4 log x 2 + 4 log y + 4 log z = 4 log16 ⇒ x 2 yz = 16 ...(1)
4

3

log y + 9 log z + 9 log x = 2⇔ 9 log y 2 + 9 log z + 9 log x = 9 log 81 ⇒ y 2 zx = 81 ...(2)

4

log z + 16 log x + 16 log y = 2⇔

(1) x(2) x(3) ⇒

( xyz ) 4 =

16

log z 2 + 16 log x + 16 log y = 16 log 256 ⇒ z 2 xy = 256 ...(3)

16.81.256 ⇒

xyz = 24
2
x 2 yz = 16 ⇔ x.xyz = 16 ⇒ x.24 = 16 ⇔ x =
3
27
y 2 zx = 81 ⇔ y.xyz = 81 ⇒ y.24 = 81 ⇔ y =
8
z 2 xy = 256 ⇔ z.xyz = 256 ⇒ z.24 = 256 ⇔ z =

32
3

70. Diketahuia+b+c+d=0dan a.b.c.d ≠ 0. Buktikan bahwa :
( a3 + b3 + c3 + d 3 ) 2= 9( abc + abd + acd + bcd ) 2
Bukti :
a + b + c + d = 0 ⇔ a + b = − (c + d )
a 3 + b3 = ( a + b) 3− 3ab(a + b)
= − (c + d ) 3+ 3ab(c + d )
a 3 + b3 = − c 3 − d 3 − 3cd (c + d ) + 3abc + 3abd
a 3 + b3 + c 3 + d 3 = 3cd (a + b) + 3abc + 3abd = 3(acd + bcd + abc + abd )
(a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) 2 = 9(acd + bcd + abc + abd ) 2
71. Diketahuix dan y adalah bilangan real dengan ketentuan 1 < y < 2 dan x − y + 1 = 0 . Tentukan nilai
dari 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10
Jawab :
x = y – 1 disubstitusikan ke 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10 maka akan didapat :

( 2 y − 1) 2 +

2 ( y − 4) 2 = 2 y − 1 + 2 y − 4
Karena 1 < y < 2 maka :
2y − 1 = 2y − 1
y − 4 = − ( y − 4)
Jadi 2 y − 1 − 2( y − 4) = 7
72. Sebuah bilangan terdiridari 3 digit. Bilangan itu habis dibagi 12 dan hasil baginya adalah jumlah angkaangkanya. Tentukan bilangan itu !
Jawab :
1
100a+10b+c=12(a+b+c) ⇔ 44a = 5 c + b
2
c yang mungkinadalah bilangan genap yaitu 8
1
44a = 5 .8 + b atau b = 44a – 44 maka a = 1 dan b = 0
2
Jadi bilangan itu adalah 108
73. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin

1
1
1
1
A sin B sin C ≤
!
2
2
2
8

Bukti :
b2 + c2 − a 2
1
1 − cos A
a 2 − (b − c) 2
2bc
sin 2 A =
=
=
2
2
2
4bc
2
2
2
2
Karena (b − c) ≥ 0 maka a − (b − c ) ≤ a .
1−

1
a2
1
b2
1
c2
A≤
akibatnya sin 2 B ≤
dan sin 2 C ≤
2
4bc
2
4ac
2
4ab
2
2
2
1
1
1
a b
c
sin 2 A.sin 2 B.sin 2 C ≤
.
.
2
2
2
4bc 4ac 4ab
Sehingga sin 2

1
1
1
sin A.sin B.sin C ≤
2
2
2

a 2b 2 c 2
1
=
2 2 2
64a b c
8

74. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa cos A cos B cos C ≤

1
!
8

Bukti :
Karena ( b 2 − c 2 ) 2≥ 0 maka a 4 − (b 2 − c 2 ) 2 ≤ a 4
a 2 + (b 2 − c 2 ) a 2 − (b 2 − c 2 ) ≤ a 4

[

][

( 2ab cos C ) (2ac cos B) ≤

]

a

4

a
c2
b2
akibatnya cos A cos B ≤
dan cos A cos C ≤
4bc
4ab
4ac
2
2
2
c
b a
cos A cos B. cos A cos C. cos B cos C ≤
.
.
4ab 4ac 4bc
cos B cos C ≤

2

cos A cos B cos C ≤

a 2b 2 c 2
1
=
2 2 2
64a b c
8

75. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C ≤

3
3 !
2

Bukti :
1
1
sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B )
2
2
1
1
Karena cos ( A − B) ≤ 1 maka sin A + sin B ≤ 2 sin ( A + B) ...(1)
2
2
1
Sehingga sin C + sin 60 ≤ 2 sin (C + 60 ) ......(2)
2
Jika pers.(1) + ( 2) maka :

1
1
1
1

3 ≤ 2 sin( A + B) + sin  C + 30  
2
2
2
2


1
1
1
sin A + sin B + sin C +
3 ≤ 2(2 sin ( A + B + C + 60 ) cos ( A + B − C − 60 ))
2
4
4
1
Karena cos ( A + B − C − 60 ) ≤ 1 maka :
4
1
1
sin A + sin B + sin C +
3 ≤ 4 sin (180 + 60 )
2
4
1
1
3
sin A + sin B + sin C ≤ 4. 3 −
3=
3
2
2
2
sin A + sin B + sin C +

1
1
1
1
1
1
76. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C = 1
2
2
2
2
2
2
Bukti :
1
1
1
1
1
1
sin A sin B sin A sin C sin B sin C
2
2 +
2
2 +
2
2
1
1
1
1
1
1
cos A cos B cos A cos C cos B cos C
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin A sin B cos C + sin A sin C cos B + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
1
1
1
sin A sin( B + C ) + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
2
=
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2

=

=

=

=

=

=

1
1
1
1
1
A sin (180 − A) + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
1
1
sin A cos A + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
sin A + sin B sin C
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1
1
1
sin (180 − ( B + C ) ) + sin B sin C
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1 
1
1
1
cos B + C  + sin B sin C
2 
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1
1
1
1
1
1
cos B cos C − sin B sin C + sin B sin C
2
2
2
2
2
2 =1
1
1
cos B cos C
2
2
sin

77. Jika A, B, C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa :
1
1
1
1
1
1
tan A tan B + 8 + tan B tan C + 8 + tan A tan C + 8 ≤ 5 3
2
2
2
2
2
2
Bukti :
a + b + c 2 = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc

(

)

( a+
a+

b+
b+

c ) 2≤ a + b + c + a + b + a + c + b + c = 3( a + b + c )
c≤

3( a + b + c )

1
1
tan A tan B + 8 +
2
2

1
1
tan B tan C + 8 +
2
2

1
1
tan A tan C + 8
2
2



1
1
1
1
1
1


3 tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C + 24 
2
2
2
2
2
2



=

3(1 + 24) = 5 3

78. Buktikan bahwa cos

π


2003π
1
+ cos
+ cos
+ ..... + cos
=
2005
2005
2005
2005
2

Bukti :

π
π

sin
= sin
− 0
2005
2005
2005

π


2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005

π


2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005
.......
2003π
π
2004π
2002π
2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005
2 cos

+

π
π


2003π
2004π
(cos
+ cos
+ cos
+ ...... + cos
) = sin
2005
2005
2005
2005
2005
2005
π 

2004π
sin  π −

sin
π


2003π
1
1 
2005  1
2005
cos
+ cos
+ cos
+ ...... + cos
=
=
=
2005
2005
2005
2005
2 sin π
2 sin π
2
2005
2005
2 sin

79. Buktikan bahwa cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 = 6
Bukti :
1
1
1
+

cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 =


sin 10 sin 50 sin 70
sin 70 sin 50 + sin 70 sin 10 − sin 50 sin 10
=
sin 70 sin 50 sin 10
1
− (cos120 − cos 20 + cos 80 − cos 60 − cos 60 + cos 40
= 2
1
− (cos120 − cos 20 ) sin 10
2
3
− + cos 80 + cos 40 − cos 20
= 2
1
1
− sin 10 − (sin 30 − sin 10 )
2
2
3
− + 2 cos 60 cos 20 − cos 20
= 2
1
1 1
− sin 10 − + sin 10
2
4 2
3

= 2 = 6
1

4
80. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C !
Bukti :
sin A sin B sin C sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B
+
+
=
cos A cos B cos C
cos A cos B cos C
cos C (sin A cos B + cos A sin B ) + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos c sin C + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
sin C (cos C + cos A cos B )
=
cos A cos B cos C
sin C (cos A cos B − cos( A + B ))
=
cos A cos B cos C
sin C (cos A cos B − cos A cos B + sin A sin B )
=
cos A cos B cos C
sin A sin B sin C
=
= tan A tan B tan C
cos A cos B cos C

81. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B tan C ≥ 3 3 !
Bukti :
a + b + c ≥ 3 3 abc
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C
tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C
(tan A tan B tan C ) 3≥ 27 tan A tan B tan C
(tan A tan B tan C ) 2≥ 27
tan A tan B tan C ≥ 3 3
1
1
1
82. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C !
2
2
2
Bukti :
sin A + sin B + sin C = 2 sin ( 12 A + 12 B ) cos( 12 A − 12 B ) + 2 sin 12 C cos 12 C
= 2 sin 12 (180 − C )(cos 12 A cos 12 B + sin 12 A sin 12 B ) + 2 sin 12 C cos 12 C
= 2 cos 12 C (cos 12 A cos 12 B + sin 12 A sin 12 B ) + 2 sin 12 C cos 12 C
= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 C sin 12 A sin 12 B ) + 2 sin 12 C cos 12 C
= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 C (sin 12 A sin 12 B + sin 12 C )
= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 C (sin 12 A sin 12 B + sin 12 (180 − ( A + B ))
= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 C (sin 12 A sin 12 B + cos( 12 A +

1
2

B ))

= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 C (sin 12 A sin 12 B + cos 12 A cos 12 B − sin 12 A sin 12 B )
= 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C + 2 cos 12 A cos 12 B cos 12 C
= 4 cos 12 A cos 12 B cos 12 C
83. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa
cos ecA + cos ecB + cos ecC ≥ 94 sec 12 A sec 12 B sec 12 C
Bukti :
Arithmetic Mean ≥ HarmonikMean
a+ b+ c
3
 1 1 1

⇔ ( a + b + c)  + +  ≥ 9
1 1 1
3
 a b c
+ +
a b c
(sin A + sin B + sin C )(cos ec A + cos ec B + cos ec C ) ≥ 9
9
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥
sin A + sin B + sin C
9
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥
1
4 cos 2 A cos 12 B cos 12 C
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥

9
4

sec 12 A sec 12 B sec 12 C

84. Buktikan bahwa ( a + b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc
Bukti :
Karena ( b − c ) 2≥ 0 maka a 2 − ( b − c ) 2≤ a 2
Karena ( c − a ) 2≥ 0 maka b 2 − ( c − a ) 2≤ b 2
Karena ( a − b ) 2≥ 0 maka c 2 − ( a − b ) 2≤ c 2

( a − ( b − c ) )( b − ( c − a ) )( c − ( a − b ) ) ≤
2

(a +
(a +

2

2

2

2

2

a 2b 2 c 2

b − c ) (a − b + c)(b + c − a)(b − c + a )(c + a − b)(c − a + b) ≤ ( abc ) 2
b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc

85. Jika a, b, c sisi-sisi segitiga ABC, buktikan bahwa ( a + b + c ) ( ab + bc + ca) ≥ 9abc !
Bukti :
( a + b + c )( ab + bc + ca ) = a 2b + abc + a 2c + ab2 + b 2c + abc + abc + bc 2 + ac 2
= 3abc + ( a 2b + bc 2 ) + ( b 2c + a 2c ) + ( ac 2 + ab 2 )

≥ 3abc + 2 a 2b.bc 2 + 2 b 2c.a 2c + 2 ac 2 .ab 2 = 3abc + 2(abc + abc + abc ) = 9abc
86. Jika x bilangan real positif, buktikan bahwa x

2003

+ x 2001 + x1999 + ..... +

1
1999

x

+

1
x

2001

+

1
x

2003

≥ 2004

Bukti :
x 2003 +

1
x

2003

≥ 2 x 2003 .

1
x

2003

= 2

1   2001
1 
 2003
 1 1
 x + 2003  +  x + 2001  + .... +  x + 1  ≥ 2 + 2 + ....... + 2 = 2.1002 = 2004
x  
x 
x 


87. Dalam segitiga ABC jika a 2 = b 2 + c 2 + bc maka tentukan β + γ !
Jawab :
a 2 = b 2 + c 2 + bc = b 2 + c 2 − 2bc cosα ⇒ cosα = − 12 ⇔ α = 120

β + γ = 180 − α = 60
88. Dalam segitiga ABC berlaku c 2 = ( a cosα − b sin α ) 2 + ( a sin α + b cosα ) 2. Tentukan besarnya sudut
C!
Jawab :
c 2 = a 2 cos 2 α − 2ab sin α cosα + b 2 sin 2 α + a 2 sin 2 α + 2ab sin α cosα + b 2 cos 2 α
c 2 = a 2 (cos 2 α + sin 2 α ) + b 2 (cos 2 α + sin 2 α )
c 2 = a 2 + b2



∠ C = 90

89. Tentukan nilai sin 2 15 + sin 2 15 cos 2 15 + sin 2 15 cos 4 15 + sin 2 15 cos6 15 + .......
Jawab :
1
sin 2 15 (1 + cos 2 15 + cos 4 15 + cos 6 15 + .....) = sin 2 15.
=1
1 − cos 2 15
90. Sebuah balok luas alasnya 96 cm 2 , luas sisi depannya 72 cm 2 dan luas sisi sampingnya 48 cm 2 .
Tentukan volume balok !
Jawab :
96t
pl = 96 dan pt = 72 maka l =
72
96 t
.t = 48 ⇒ t = 6 ⇒ l = 8 dan p = 12
lt = 48 atau
72
V = p l t = 12.8.6=576
91. Sebuah balok mempunyai perbandingan ukuranp : l : t = 6 : 3 : 2. Jika panjang diagonal ruangnya 28
cm, tentukan volume balok !
Jawab :
Misal p =6x, l = 3x dan l = 2x maka 282 = ( 6 x ) 2 + (3 x) 2 + ( 2 x) 2 ⇒ x = 4
Jadi V = p l t = 24.12.8 = 2304 cm 2

92.
C

Tentukan luas segitiga ABC !

4x+5
x+2
A

B
4x+4

Jawab :
( 4 x + 5) 2 = ( 4 x + 4) 2 + ( x + 2) 2
1
L = (4.5 + 4)(5 + 2) = 84
2



x= 5

93. Tentukan jumlah angka-angka dari 1025 − 25 !
Jawab :
1025 − 25 = 1000.....000 − 25 = 999 …. 99975
25 angka
23 angka
Jadi jumlah angka-angkanya = 9.23+7+5= 219
94. Jika f(1) = 5 dan f(x+1)= 2f(x)maka tentukan f(7) !
Jawab :
f(1) = 5
f(2) = 2f(1)= 10
f(3) = 2f(2)= 20
f(4) = 2f(3)= 40
….
Jadi 5, 10, 20, 40, …. Berupa barisan geometri dengan rasio = 2.
Sehingga f(7) = 5. 27 − 1 = 320
95. Empat bola berjari-jari sama yaitu 10 cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat
bola membentukbujursangkar bersisi 20 cm. Bola kelima berjari-jari 10 cm diletakkan diatasnya
sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah
….
Jawab :
20 t

20
10

10
Dari atas

dari samping

(

)

h = t + 10 = 400 − 100 + 10 = 10 3 + 1

96. Pada lomba maraton tiap peserta diberi nomor urut 1, 2, 3, 4, ……dst. Banyaknya angka yang dipakai

untukmenulis nomorseluruhpeserta adalah 1998buah. Berapa banyak peserta maraton tersebut ?
Jawab :
Nomor 1 angka : 9 x 1 = 9 yaitu 1 – 9
Nomor 2 angka : 90 x 2 = 180 yaitu 10 – 99
Nomor 3 angka : 1998 – 189 = 1809
Banyaknya bilangan dengan 3 angka : 1809 : 3 = 603
Jadi banyak peserta = 603 + 9 + 90 = 702 peserta

Judul: Soal-soal Olimpiade Matematika Dan Penyelesaiannya

Oleh: Puji Nuniastuti


Ikuti kami