Soal-soal Latihan Untuk Ksn Fisika

Oleh Yuwanza Ramadhan

16 tayangan
Bagikan artikel

Transkrip Soal-soal Latihan Untuk Ksn Fisika

Soal-soal Latihan untuk KSN Fisika
Yuwanza Ramadhan

1

Natural Units

Di dalam fisika, Natural Units adalah sistem satuan fisika yang definisinya
didasarkan kepada konstanta alam. Apabila di dalam satuan SI, konstanta alam
ini biasanya memiliki nilai yang tidak sama dengan 1, di dalam sistem satuan
ini, semua konstanta alam didefinisikan bernilai 1. Sehingga, apabila di dalam
satuan SI, ada persamaan yang mengandung konstanta alam, di dalam Natural Units, konstanta alam di persamaan tersebut diganti menjadi 1, sehingga
yang tersisa di persamaan tersebut hanyalah variabel lain yang bisa diubah
dan diukur. Tentunya, variabel yang tersisa tersebut tidak lagi diukur dalam
satuan SI, melainkan diukur dalam Natural Units. Berbagai persamaan fisika
yang cukup rumit (biasanya ada di ranah Relativitas Umum atau Mekanika
Kuantum) biasanya ditulis dalam Natural Units. Di soal ini, kita akan menganalisis persamaan fisika yang sudah ditulis dalam Natural Units. Di dalam
Natural Units, konstanta alam yang didefinisikan bernilai 1 adalah c (kecepatan
cahaya), G (konstanta gravitasi), h̄ (konstanta Planck tereduksi), dan k (konstanta Boltzmann).
a. Dengan menggunakan ketiga persamaan dibawah ini (persamaan Hukum
Gravitasi Newton Universal, energi foton terdiskrit, dan persamaan gas
ideal),
Gm1 m2
r2
E = h̄ω

F =

P V = N kT
Tentukan dimensi dari konstanta G, h̄, dan k.
b. Persamaan untuk mencari radius dari lubang hitam adalah
R = 2M
Dimana R dan M berturut-turut adalah radius dan massa dari lubang
hitam. Persamaan ini ditulis dalam Natural Units. Jika ruas kanan
dikali f (c, G, h̄, k), maka persamaan diatas menjadi persamaan yang ditulis dalam satuan SI. Tentukan f (c, G, h̄, k) (Fungsi tersebut ditulis dalam
bentuk umumnya, tidak berarti keempat konstanta alam tersebut harus
muncul di fungsi itu).
1

c. Persamaan untuk densitas energi vakum di alam semesta adalah
ρvac =

Λ


Dimana ρvac dan Λ berturut-turut adalah rapat energi vakum per volume dan konstanta kosmologi (Dalam satuan SI, dimensinya adalah m−2 ).
Tentukan bentuk persamaan diatas jika ditulis dalam satuan SI.
d. Akibat radiasi Hawking yang dipancarkan lubang hitam, temperatur lubang
hitam dapat ditulis sebagai
T =

1
8πM

Dimana T dan M berturut-turut adalah temperatur dan massa lubang
hitam. Tentukan bentuk persamaan ini jika ditulis dalam satuan SI.

2

Bola menuruni tangga

Terdapat sebuah tangga yang menurun ke arah kanan. Panjang setiap anak
tangga adalah l dan perbedaan ketinggian antar anak tangga yang berdekatan
adalah d. Tinjau sebuah bola yang memantul menuruni tangga ini. Kecepatan
horizontal bola adalah u, koefisien restitusi antara bola dan tangga adalah e,
dan terdapat medan gravitasi g yang mengarah ke bawah. Pertama, tinjau
kecepatan dan posisi bola setelah tumbukan ke-n. Kecepatan vertikal dan posisi bola diukur terhadap pinggir tangga terdekat berturut-turut adalah vn dan
xn . Kemudian, bola akan mendarat sejauh Nn anak tangga ke bawah dengan kecepatan vertikal setelah tumbukan menjadi vn+1 dan posisi bola ketika
tumbukan lagi adalah xn+1 , diukur terhadap pinggir tangga terdekat juga.
a. Tentukan interval waktu (∆tn ) antara tumbukan ke-n dan ke-n + 1.
b. Tentukan nilai vn+1 , nyatakan dalam variabel vn , Nn , dan parameter lainnya.
c. Variabel Nn adalah bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai pembuf
, dimana f adalah ekspresi tertentu yang mungkin
latan ke bawah dari L
saja melibatkan variabel Nn . Tentukan ekspresi f .
d. Tentukan nilai xn+1 , nyatakan dalam variabel xn , vn , Nn , dan parameter
lainnya.
e. Nilai dari u dapat dikatakan sebagai kecepatan yang menghasilkan lompatan yang jauh apabila ketika bola ditembakkan hanya horizontal dengan kecepatan u, maka bola tidak akan mendarat pertama kali di y = −d,
melainkan akan mendarat lebih jauh lagi ke bawah. Tentukan syarat u
agar dapat dikatakan sebagai kecepatan yang menghasilkan lompatan yang
jauh.
2

Sejauh ini, semua persamaan diatas masih ditulis dalam bentuk umumnya.
Sekarang, kita akan meninjau solusi stabil dari persamaan rekursif tersebut.
Solusi stabil dalam kasus ini adalah solusi yang memiliki bentuk
xn = xn+1 = x
vn = vn+1 = v
Nn = Nn+1 = N
f. Tentukan nilai v dan N , nyatakan dalam parameter yang ada.

3

Fisika dari kemacetan

Kemacetan adalah fenomena kehidupan sehari-hari yang sering kita jumpai.
Pada soal ini, kita akan membahas fenomena ini dalam sudut pandang fisika. Secara umum, ada 2 pendekatan yang dapat digunakan, yaitu pendekatan makroskopis (meninjau parameter yang didefinisikan untuk seluruh bagian jalan) dan
mikroskopis (meninjau parameter yang didefinisikan hanya untuk satu kendaraan). Pendekatan yang terakhir adalah yang akan kita gunakan di soal ini.
Tinjau sebuah kendaraan di jalan. Pengemudi kendaraan ini dapat mengetahui informasi kecepatan kendaraan didepannya dan jaraknya dengan kendaraan tersebut. Pemodelan yang akan kita gunakan adalah sebagai berikut:
Zona “Perlambatan” Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan didepannya lebih kecil dari sn , maka kendaraan tersebut akan melakukan perlambatan sebesar an sampai jaraknya sudah tidak lebih kecil dari sn .
Zona “Percepatan” Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan didepannya lebih jauh daripada sf , dimana sf > sn , maka kendaraan tersebut
akan melakukan percepatan sebesar af sampai jaraknya tidak lebih besar
dari sf .
Zona “Adaptasi kecepatan” Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan
didepannya berada diantara sf dan sn , maka kendaraan tersebut akan
melakukan percepatan/perlambatan dengan magnitudo aa sampai kecepatannya sama dengan kecepatan kendaraan didepannya, tidak peduli berapapun nilai jaraknya (selama masih berada diantara sf dan sn ). Setelah
kecepatannya sama, tidak ada lagi percepatan pada kendaraan tersebut.
Asumsikan informasi kendaraan di belakang yang ditinjau tidak bisa diketahui
dengan sempurna oleh pengemudi kendaraan yang ditinjau, sehingga tidak mempengaruhi pergerakan kendaraan.
a. Pada awalnya, tidak ada kendaraan di jalan. Kemudian, satu kendaraan
masuk ke jalan dengan kecepatan v0 yang dianggap konstan. Setelah
waktu t0 berlalu, kendaraan kedua masuk ke jalan dengan kecepatan v00
dari posisi yang sama dengan posisi masuknya kendaraan pertama. Tentukan syarat agar kendaraan kedua ini tidak akan pernah memasuki zona
3

“Perlambatan”. Asumsikan v0 t0 > sf . (Petunjuk: Analogikan pemodelan ini dengan sistem lain yang memiliki karakteristik yang sama untuk
menyederhanakan pengerjaan soal.)
b. Jika syarat di sub-soal a) tidak terpenuhi, tentukan syarat agar kendaraan
kedua baru bertahan (tidak keluar lagi) di zona “Adaptasi kecepatan”
setelah N kali memasuki zona tersebut. Asumsikan kendaraan ini tidak
pernah menabrak kendaraan didepannya.
Pemodelan diatas dapat dibuat lebih “mulus” dengan pengembangan dibawah
ini:
1. Zona “Percepatan” dan “Perlambatan” dapat diganti dengan menganggap
sf ≈ sn ≈ ss dan magnitudo percepatan kendaraan adalah proporsional
dengan magnitudo jarak kendaraan yang ditinjau dengan kendaraan didepannya dikurang ss (dengan konstanta proporsionalitas k). Arah dari
percepatan tersebut adalah menuju posisi ss dari posisi kendaraan yang
ditinjau.
2. Zona “Adaptasi kecepatan” yang selalu mengurangi kecepatan kendaraan
dapat diganti dengan percepatan yang proporsional dengan magnitudo kecepatan relatif kendaraan yang ditinjau terhadap yang didepannya (dengan konstanta proporsionalitas β). Arah dari percepatan ini adalah berlawanan dengan arah kecepatan relatif tersebut.
Perhatikan bahwa kedua percepatan yang disebutkan diatas selalu bekerja bersamaan, sehingga percepatan total yang dialami kendaraan adalah resultan dari
kedua percepatan tersebut. Untuk melengkapi pemodelan ini, kita akan menambahkan asumsi bahwa ss memiliki ketergantungan kepada kecepatan kendaraan
didepan kendaraan yang ditinjau (v) dalam bentuk sebagai berikut
ss = s0 + vτ
c. Tinjau barisan kendaraan di jalan, dimana semua kendaraan berada dalam
satu garis, dan kecepatannya juga paralel dengan garis ini. Kendaraan pertama (kendaraan paling depan dari barisan) memiliki kecepatan konstan
v1 . Tuliskan persamaan diferensial untuk kecepatan kendaraan kedua (v2 )
dibelakang kendaraan pertama.
d. Tuliskan persamaan diferensial yang menghubungkan kecepatan kendaraan
ke-N − 1 dengan kecepatan kendaraan ke-N .
e. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal c) dapat ditulis sebagai
v2 − v1 = Aeiωt
Dimana i2 = −1. Tentukan nilai ω dinyatakan dalam parameter lainnya
yang didefinisikan sebelumnya. Tuliskan syarat agar nilai ω tidak murni
imajiner.
4

f. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal d) dapat ditulis sebagai
vj = Vj eiωt
Dimana j ∈ [1, 2, . . . , N − 1, N, . . . ]. Secara umum, Vj dapat bernilai
kompleks. Tuliskan hubungan antara VN dan VN −1 . Asumsikan nilai ω
selalu real.
g. Tentukan syarat agar magnitudo VN tidak membesar menuju tak terhingga seiring N → ∞. Syarat ini menjamin setiap gangguan kecil dari
pergerakan setiap kendaraan dapat hilang dan tidak menimbulkan ketidakstabilan yang dapat berujung kepada kemacetan di tengah jalan.
h. Tambahan terakhir dari pemodelan ini adalah dengan mendefinisikan parameter baru, yaitu jarak rata-rata kendaraan di jalan (x̄) dan kecepatan
rata-rata semua kendaraan di jalan (v̄). Selanjutnya, kita akan mengasumsikan hubungan dibawah ini berlaku
α

γ
β=


k=

Nilai α dan γ dapat dianggap konstanta yang tidak dipengaruhi semua
parameter yang kita definisikan. Karena asumsi ini, maka terdapat nilai
x̄ minimum, sehingga berapapun nilai v̄, kemacetan tidak akan terjadi.
Tentukan nilai x̄ minimum tersebut.

4

Bola diatas bidang kasar

Tinjau sebuah bola dengan massa m dan berjari-jari r yang memiliki distribusi massa dengan simetri bola (Momen inersianya terhadap sumbu yang
melewati pusat massa adalah kmr2 ) yang bergerak di bidang datar (Bidang ini
paralel dengan bidang xy) kasar dengan koefisien gesek (statik dan kinetik) µ.
Pada awalnya, bola ini diberi kecepatan linier ~v0 = vx0 x̂ + vy0 ŷ dan kecepatan
anguler ω
~ 0 = ωx0 x̂ + ωy0 ŷ + ωz0 ẑ. Terdapat medan gravitasi uniform −gẑ yang
bekerja pada bola. Anggap bola selalu ditahan untuk tidak bergerak dalam
arah z. Untuk seterusnya, tuliskan hasil akhir setiap sub-soal dalam komponen
setiap vektor yang terlibat.
a. Tuliskan syarat agar pada awalnya, bola sudah tidak slip terhadap bidang
datar.
b. Sekarang, anggap syarat pada sub-soal a) tidak terpenuhi. Tuliskan persamaan gaya dan torsi yang bekerja pada bola.
c. Tentukan kecepatan linier dan anguler setelah bola tidak slip terhadap
bidang datar.

5

Selanjutnya, bola akan menabrak dinding panjang tak berhingga yang berhimpit
dengan sumbu y dengan kecepatan linier dan anguler tersebut. Anggap dinding
memiliki koefisien gesek µ juga dan koefisien restitusi e. Anggap pula bola
sudah tidak slip di posisi x < 0.
d. Tuliskan syarat agar bola pasti dapat menabrak dinding.
e. Tentukan kecepatan linier dan anguler bola tepat setelah bertabrakan dengan dinding.
f. Tentukan kecepatan linier dan anguler bola setelah waktu yang sangat
lama.

5

Benda tegar menabrak dinding

Terdapat sebuah benda tegar dengan simetri radial bermassa m dan berjarijari r (sehingga momen inersianya terhadap sumbu simetrinya dapat dinyatakan
dalam bentuk kmr2 ) yang menggelinding tanpa slip dengan kecepatan v0 diatas
bidang datar. Benda ini akan menabrak dinding vertikal yang ada di hadapannya. Bidang datar dan dinding vertikal memiliki koefisien gesek µ dan koefisien
restitusi e. Terdapat medan gravitasi sebesar g yang konstan dan uniform dengan arah vertikal kebawah.
a. Tentukan kecepatan linier (arah vertikal dan horizontal) dan anguler benda
tepat setelah menabrak dinding, nyatakan dalam v0 , r, e, dan µ.
Selanjutnya, benda ini akan bergerak menjauhi dinding dan memantul terusmenerus dari bidang datar sampai kecepatan arah vertikalnya hilang.
b. Tentukan syarat untuk µ agar benda tidak slip lagi terhadap bidang datar
setelah menabrak dinding (Ini menjamin agar kecepatan horizontal benda
tidak berubah lagi). Gunakan syarat ini untuk sub-soal selanjutnya.
c. Tentukan jarak horizontal (s0 ) yang ditempuh oleh benda setelah kecepatan vertikalnya habis, diukur dari dinding. Anda boleh mengabaikan
jari-jari benda tegar dalam perhitungan jarak ini.
Sekarang, tinjau benda titik yang ditembakkan dari sudut dinding dengan kecepatan v0 dan sudut θ terhadap bidang datar (yang dapat divariasikan dari
0 sampai π2 ). Setelah kecepatan vertikalnya habis akibat tumbukan dengan
bidang datar, benda ini akan telah menempuh jarak horizontal sejauh d0 . Untuk sub-soal selanjutnya, gunakan nilai d0 paling maksimum yang mungkin.
d. Bandingkan hasil dari sub-soal sebelumnya dengan d0 . Tuliskan syarat
untuk e agar s0 > d0 . Tuliskan pula syarat untuk k agar selalu ada
nilai e yang fisis yang memenuhi syarat sebelumnya. Berikan (setidaknya
1) contoh benda tegar yang memenuhi syarat kedua, serta range nilai
numerik e yang memenuhi syarat pertama.

6

6

Model sederhana sepeda motor

Dalam soal ini, kita akan menganalisis sepeda motor dalam tinjauan fisika.
Untuk penyederhanaan, kita akan memodelkan sepeda motor dengan membaginya menjadi 3 bagian, yaitu badan motor (termasuk pengendaranya), roda
depan, dan roda belakang. Roda depan dan roda belakang memiliki jari-jari
R dan momen inersia I. Massa total seluruh bagian sepeda motor adalah M .
Jarak (dalam arah horizontal) pusat massa sepeda motor ke titik dimana roda
depan dan belakang menyentuh tanah berturut-turut adalah x dan y. Koefisien
gesek statis dan kinetis antara setiap roda dengan permukaan tanah adalah µ
dan 34 µ. Roda belakang tersambung ke gir yang digerakkan oleh mesin motor
sedemikian rupa sehingga ketika mesin mengerjakan torsi τ ke gir, maka roda
belakang akan menerima torsi sebesar ητ , ke arah yang membuat sepeda motor bergerak ke depan. η adalah koefisien yang bergantung kepada geometri
dari gir dan roda belakang. Terdapat medan gravitasi uniform g yang mengarah ke bawah. Untuk seterusnya, anggap sepeda motor selalu bergerak diatas
permukaan tanah yang horizontal (tidak punya kemiringan).
a. Tentukan gaya normal yang dikerjakan permukaan tanah kepada roda
depan dan belakang.
b. Asumsikan gaya gesek udara pada sepeda motor dapat diabaikan. Tentukan percepatan sepeda motor jika mesin motor mengerjakan torsi τ
kepada gir.
c. Sekarang, gaya gesek udara tidak diabaikan lagi. Gaya gesek udara yang
bekerja kepada sepeda motor sebagai fungsi dari kecepatan sepeda motor
adalah
F (v) = βv + γv 2
Dimana v adalah kecepatan sepeda motor, serta β dan γ adalah konstanta. Tentukan total torsi yang harus dikerjakan mesin jika diinginkan
percepatan sepeda motor tetap sama dengan sub-soal sebelumnya.
d. Sekarang, motor tidak lagi dipercepat, tetapi dipertahankan memiliki kecepatan konstan v. Tentukan torsi yang harus dikerjakan oleh mesin motor
agar kecepatan sepeda motor tetap konstan.
e. Masih dalam keadaan yang sama dengan sub-soal d), terdapat nilai v
maksimum, sehingga apabila sepeda motor memiliki kecepatan yang lebih
besar daripada ini, roda belakang sepeda motor akan slip terlebih dahulu
dan roda depan masih belum slip terhadap permukaan tanah. Tentukan
nilai v maksimum tersebut.
Sekarang, mesin motor dimatikan, dan roda belakang mulai direm. Pengereman
pada sepeda motor dapat dimodelkan sebagai berikut. Terdapat dua bahan
kasar yang terdapat di pinggir setiap roda, di bagian atas roda. Ketika pengendara menekan rem dengan gaya F , gaya ini ditransmisikan sampai ke bahan
7

kasar yang terdapat pada roda. Berikutnya, kedua bahan kasar akan menekan
roda dari kedua sisi dengan gaya εF . ε adalah koefisien yang bergantung kepada
bagaimana gaya pada rem ditransfer ke bahan kasar. Gaya tekan inilah yang
akan menghasilkan gaya gesek pada roda yang mampu memperlambat roda.
Koefisien gesek statis dan kinetis bahan kasar dengan permukaan roda adalah
2µ dan 32 µ. Asumsikan rem hanya dikerjakan kepada roda belakang, dan gaya
gesek udara dapat diabaikan.
f. Terdapat waktu yang cukup singkat, dari awal roda belakang direm, sampai roda belakang berhenti berputar, dan roda belakang mengalami slip
terhadap permukaan tanah, tetapi tidak slip terhadap bahan kasar. Jika
awalnya motor memiliki kecepatan v, dan pengendara menekan rem dengan gaya F , tentukan durasi waktu tersebut.
g. Tentukan syarat F agar setelah roda belakang berhenti berputar, roda
belakang tidak akan slip lagi terhadap bahan kasar.
h. Tentukan waktu yang berlalu dari awal rem ditekan sampai seluruh motor
berhenti. Anggap roda depan tetap tidak slip terhadap permukaan tanah,
dan pengendara selalu menekan rem dengan gaya F .

7

Papan menyandar ke silinder

Sebuah papan dengan panjang L dan massa M diengsel pada salah satu
sisi lebarnya. Engsel licin tersebut terletak di sebuah bidang datar. Sebuah
silinder dengan massa m dan jari-jari r diletakkan pada bidang datar dengan
jarak horizontal awal pusat silinder ke engsel adalah x0 . Papan tersebut dibuat
menyandar ke silinder ini. Perhatikan gambar di bawah ini.

Figure 1: Soal No. 7
Seseorang berusaha menggerakkan silinder tersebut menuju engsel dengan
memberikan gaya F pada bagian tengah silinder. Akibatnya, silinder bergerak
dengan kecepatan konstan v0 yang mengarah menuju engsel. Asumsikan terdapat medan gravitasi seragam sebesar g yang mengarah ke bawah, silinder
dipaksa agar tidak berotasi, dan bidang datar dan papan memiliki koefisien
gesek kinetik µ terhadap silinder.
a. Dengan menggunakan informasi pada gambar soal, tentukan hubungan
antara θ dengan x (jarak dari pusat silinder ke engsel).
8

b. Berdasarkan hubungan tersebut, nyatakan percepatan sudut papan dalam
θ (sebagai variabel) dan parameter lainnya.
c. Tentukan gaya gesek kinetik yang dikerjakan oleh papan (f1 ) dan bidang
datar (f2 ) kepada silinder.
d. Tentukan gaya F yang harus dikerjakan oleh orang tersebut.

8

Batang di Ujung Meja

Sebuah batang tipis homogen bermassa m dan panjang l diletakkan di pinggir meja sedemikian rupa sehingga ada bagian dari batang tersebut yang tidak
ditopang oleh meja sepanjang x. Ujung meja bersifat kasar dengan koefisien
gesek statis µ. Kita akan menganalisis pergerakan batang ini selama ia berputar
terhadap ujung meja. Percepatan gravitasi pada sistem ini adalah g.
a. Jika x < l/2, maka diperlukan gaya untuk membuatnya berputar terhadap
ujung meja, sebut saja gaya ini F . Gaya ini bekerja di ujung batang yang
tidak tertopang meja dan arahnya selalu ke bawah. Tentukan percepatan
sudut batang sebagai fungsi θ, sudut yang dibentuk batang terhadap meja.
b. Suatu saat, batang ini akan slip terhadap ujung meja dan tidak lagi
berputar terhadap ujung meja. Tentukan sudut batang terhadap meja
θc1 dimana keadaan ini akan terjadi.

9

Pulsejet Engine

Pulsejet engine adalah mesin yang bekerja dengan cara menyerap udara di
sekitarnya dan mendorong udara ini ke bawah dengan kecepatan tinggi, sehingga
mesin ini dapat mendorong dirinya keatas. Dorongan yang diberikan merupakan
pulsa yang periodik dengan interval waktu antar penembakan udara τ . Satu
siklus kerja mesin ini terdiri dari 3 proses, yaitu:
1. Freefall : Setelah dorongan sebelumnya, mesin ini bergerak dibawah pengaruh percepatan gravitasi g. Siklus ini berlangsung selama interval waktu
τ.
2. Intake: Dalam proses ini, mesin mengambil udara dari lingkungan sekitarnya yang awalnya diam, sehingga udara yang terambil ini akhirnya
bergerak bersama dengan mesin. Siklus ini berlangsung dalam sekejap.
3. Exhaust: Dalam proses ini, mesin mendorong udara yang tersimpan dengan kecepatan u ke bawah relatif terhadap mesin (kecepatan relatif diukur
tepat sebelum kecepatan mesin berubah). Siklus ini berlangsung dalam
waktu sekejap.
Untuk selanjutnya, anggap massa mesin adalah M dan massa udara yang diambil dalam proses intake adalah m.
9

a. Ketika mesin masih diam di permukaan tanah, mesin langsung menjalankan
proses intake lalu dilanjut oleh exhaust. Tentukan kecepatan mesin tepat
m
setelah massa udara didorong keluar. Untuk selanjutnya, gunakan r = M
.
b. Berikutnya, mesin akan menjalani ketiga proses yang dijelaskan diatas.
Tentukan kecepatan mesin tepat setelah menyelesaikan proses freefall (v0 0 ),
intake (v0 00 ), dan exhaust (v1 ).
c. Apabila tepat setelah siklus ke-n, kecepatan mesin adalah vn , tentukan
vn+1 , kecepatan mesin tepat setelah siklus ke-n + 1. Nyatakan dalam vn .
d. Apabila kecepatan mesin tepat setelah siklus ke-0 adalah kecepatan yang
sudah dihitung di sub-soal a), tentukan vn , kecepatan mesin tepat setelah
siklus ke-n, nyatakan dalam n dan parameter lainnya yang terlibat dalam
semua proses. (Petunjuk: tebaklah bentuk solusi yang mungkin dengan
melihat pola yang ada pada v1 , v2 , dst.)
e. Setelah waktu yang sangat lama, kecepatan mesin tepat setelah setiap
siklus akan menjadi konstan. Tentukan kecepatan terminal mesin ini.

10

Sistem tiga massa dan tiga pegas

Sebuah sistem terdiri dari tiga buah benda titik bermassa m yang dihubungkan dengan tiga pegas identik dengan konstanta pegas k dan panjang rileks a
sehingga membentuk segitiga sama sisi. Sistem ini kemudian diberi momentum anguler L sedemikian rupa sehingga, dalam keadaan setimbang, sistem ini
berputar dengan kecepatan sudut ω. Dalam keadaan ini pula, panjang pegas
akan bertambah sebesar x0 , dimana x0  a. Abaikan pengaruh medan gravitasi
bumi dan efek eksternal lainnya kepada sistem ini.
a. Tentukan nilai x0 dan ω, dinyatakan dalam m, k, a, dan L.
b. Tentukan energi total yang diberikan kepada sistem ini.
Kemudian, setiap massa diberi simpangan kecil yang sama besarnya ke arah
radial (menjauhi pusat segitiga).
c. Tentukan periode osilasi (Tosc ) dari simpangan kecil ini.
Jika anda konsisten dalam mengerjakan sub-soal sebelumnya, anda akan menyadari bahwa ada suatu besaran tak berdimensi (sebut saja f ) yang nilainya jauh
lebih kecil daripada 1, tapi tidak boleh diabaikan. Besaran tersebut bergantung
kepada L, m, k, dan a.
d. Tuliskan besaran tak berdimensi tersebut. Anda tidak perlu menyertakan
angka tertentu sebagai koefisien dari besaran tersebut. Jelaskan makna
fisis dari nilai f yang jauh lebih kecil daripada 1 ini.
e. Bandingkan nilai dari ω dan ωosc , nilai mana yang jauh lebih besar? Buktikan jawaban anda.
10

11

Papan dan dua bola diatas dua silinder

Sebuah papan besar bermassa M diletakkan diatas dua silinder panjang
(jari-jarinya dapat diabaikan) yang dijaga tetap posisinya (jarak kedua silinder
adalah l) dengan posisi pusat massa papan tepat diatas titik tengah kedua silinder. Koefisien gesek kinetik antara silinder dan papan adalah µ. Kemudian, dua
bola bermassa m dan berjari-jari r diletakkan diatas papan dengan posisi awal
kedua bola tepat berada di atas kedua silinder.
Sebelum sistem ini dilepas, papan ini digeser sehingga posisi pusat massanya berpindah sejauh x0 dari posisi sebelumnya (posisi kedua bola belum
berubah), dan kedua silinder diputar dengan kecepatan sudut ω yang tinggi
dengan arah putar silinder kanan berlawanan arah jarum jam dan silinder kiri
berputar searah jarum jam. Pada awalnya, papan dan kedua bola diam. Terdapat percepatan gravitasi uniform sebesar g ke bawah. Anggap koefisien gesek
antara bola dan papan jauh lebih besar daripada µ.
a. Tentukan gaya yang dikerjakan setiap silinder kepada papan sebagai fungsi
dari posisi pusat massa papan dan kedua bola, serta parameter lainnya
yang diketahui di soal.
b. Tuliskan persamaan gaya dan torsi pada papan dan kedua bola, serta
persamaan lainnya yang relevan.
Dalam pergerakannya, papan akan berosilasi terhadap suatu titik yang memiliki
jarak ∆x dari titik tengah kedua silinder.
c. Tentukan periode osilasi papan dan ∆x.
d. Tentukan syarat amplitudo osilasi papan agar papan selalu menyentuh
silinder.

12

Balok pejal dalam balok kopong

Tinjau sebuah mechanical black box yang terdiri dari balok kopong panjang
(hanya ada permukaan luarnya saja) bermassa M dan balok pejal bermassa
m yang berada di dalam balok kopong tersebut. Ukuran balok pejal ini telah
dibuat agar balok ini hanya dapat bergerak sepanjang satu arah dalam balok
kopong. Balok pejal ini tersambung ke balok kopong lewat dua buah pegas
dengan konstanta pegas k1 dan k2 . Salah satu ujung kedua pegas ini tersambung
ke sisi luar balok pejal yang bersebrangan, dan ujung lainnya tersambung ke sisi
dalam balok kopong yang bersebrangan. Mechanical black box ini dipasang ke
sebuah pegas (konstanta pegas k) yang ditahan salah satu ujungnya di langitlangit dengan orientasi vertikal. Terdapat medan gravitasi uniform sebesar g
dengan arah vertikal kebawah.
a. Bagaimana perbedaan yang muncul antara apabila pegas k1 terletak di
bawah pegas k2 , dan sebaliknya? Berikan justifikasi anda.

11

b. Dalam keadaan setimbang, tentukan pertambahan panjang setiap pegas
yang ada.
c. Kemudian, Mechanical black box ini diosilasikan terhadap posisi kesetimbangannya ke arah vertikal. Tentukan ada berapa mode osilasi sistem,
lalu tentukan frekuensi anguler osilasi untuk setiap mode.
Selanjutnya, anggap nilai mode osilasi ini bisa diukur dari pergerakan balok
kopong (gunakan simbol ω1 , ω2 , sampai ωN untuk frekuensi anguler setiap mode
osilasi, dimana N adalah jumlah mode osilasi, dan ω1 > ω2 > . . . > ωN ). Nilai
massa dari setiap benda dan konstanta pegas k dapat diukur lewat pengukuran
lainnya yang independen.
d. Tentukan nilai k1 + k2 dinyatakan dalam variabel lain yang dapat diukur.
e. Apakah mungkin menentukan masing-masing nilai k1 dan k2 hanya lewat
pengukuran osilasi ini? Berikan justifikasi anda

13

Dari Matahari ke Proxima Centauri

Jika suatu waktu di masa depan, Tata Surya tidak bisa dihuni manusia
lagi, maka peradaban manusia harus mencari cara untuk pergi dari Tata Surya
ke sistem bintang lain. Jika manusia belum bisa mengembangkan teknologi
untuk membawa mereka semua pergi, maka cara paling terakhir agar peradaban
manusia dapat selamat adalah dengan membawa Bumi bersama seisinya keluar
dari Tata Surya. Dalam soal ini, kita akan menganalisis cara membawa Bumi
keluar Tata Surya.
Anggap awalnya, Bumi beserta seisinya memiliki massa m dan mengelilingi
Matahari bermassa M dengan orbit lingkaran berjari-jari r0 .
a. Tentukan kecepatan Bumi mengelilingi Matahari dalam orbit ini (v0 ).
b. Tentukan energi total Bumi dalam orbit ini.
Sekarang, Bumi akan dipasangkan banyak mesin di seluruh permukaannya yang
dapat memberikan gaya konstan F (dengan magnitudo yang jauh lebih kecil
daripada gaya interaksi Bumi-Matahari) yang arahnya selalu menjauhi Matahari. Gaya ini akan diberikan sampai energi yang dimiliki Bumi sudah cukup
untuk membuatnya benar-benar lepas dari Matahari dan masih memiliki kecepatan v0 . Asumsikan tidak ada objek lainnya yang mengganggu Bumi selama
proses ini.
c. Berdasarkan syarat tersebut, maka gaya F akan dimatikan setelah jarak
Bumi dari Matahari menjadi r1 . Tentukan nilai r1 .
d. Tentukan kecepatan Bumi arah radial dan tangensial tepat setelah gaya
F dimatikan.

12

Setelah Bumi benar-benar lepas dari Matahari, Bumi akan bergerak menuju
bintang terdekat, Proxima Centauri (yang memiliki massa M 0 yang seordo dengan massa Matahari), dengan kecepatan v0 . Sebelum Bumi benar-benar masuk
ke dalam pengaruh gravitasi Proxima Centauri, posisi Bumi sudah diatur agar
orbit yang dibentuk nantinya memiliki parameter impak b.
e. Tentukan kecepatan (v2 ) dan jarak (r2 ) Bumi dari Proxima Centauri
ketika jaraknya ke Proxima Centauri adalah minimum.
Tepat setelah jarak Bumi ke Proxima Centauri menjadi minimum, mesin di
permukaan Bumi dinyalakan lagi, sehingga Bumi mendapat gaya konstan F
yang selalu mengarah ke Proxima Centauri.
f. Tuliskan persamaan untuk mencari kecepatan (v3 ) dan jarak (r3 ) Bumi
dari Proxima Centauri ketika kecepatan radial Bumi terhadap Proxima
Centauri menjadi nol lagi. Anda tidak perlu menyelesaikan persamaan
tersebut secara eksplisit.
Setelah itu, gaya F langsung dimatikan.
g. Tentukan nilai b agar tepat seletah gaya F dimatikan, Bumi langsung
menempuh lintasan lingkaran mengelilingi Proxima Centauri.

14

Plum pudding model

Salah satu pemodelan atom yang terkenal di awal abad ke-20 adalah “Plumpudding Model” yang pertama kali dikembangkan oleh J. J. Thompson pada
tahun 1904. Model ini menggambarkan atom sebagai bola berjari-jari R dengan
muatan listrik positif (totalnya +N e) yang tersebar merata di seluruh bola, dan
di dalam atom ini terdapat elektron (Jumlahnya N dan muatan listrik masingmasing –e) yang menempati posisi tertentu di dalam bola tersebut. Kita akan
meninjau salah satu konfigurasi setimbang dari elektron-elektron tersebut.
Tinjau sebuah konfigurasi dimana semua elektron berada di titik sudut dari
sebuah poligon sama sisi (dengan jumlah sisi N ) yang pusatnya berada di pusat
atom. Dalam konfigurasi ini, semua elektron memiliki jarak r ke pusat atom.
Karena kesimetrian ini, kita cukup menganalisis salah satu elektron saja. Asumsikan semua elektron berada di dalam atom.
a. Hitunglah gaya yang dikerjakan atom kepada elektron, dan gaya yang
dikerjakan setiap elektron lainnya kepada elektron yang sedang ditinjau.
Gaya yang ditinjau hanya dalam arah radial.
b. Tentukan nilai r yang dapat membuat elektron mengalami kesetimbangan
dalam arah radial. (Karena kesimetrian konfigurasi, setiap elektron akan
mengalami kesetimbangan dalam arah tangensial, sehingga hal ini tidak
perlu ditinjau lagi)
Selanjutnya, kita akan menganalisis kestabilan dari konfigurasi ini.
13

c. Tuliskan energi potensial salah satu elektron dalam konfigurasi ini.
d. Sekarang, anggap salah stau elektron disimpangkan dari posisi kesetimbangannya sebesar ∆r, dimana ∆r  r (elektron lainnya dianggap tidak
berubah posisinya). Maka, energi potensial setiap elektron akan memiliki
suku ∆r dan ∆r2 . Buktikan bahwa koefisien dari suku ∆r akan bernilai
nol. Tentukan pula koefisien dari suku ∆r2 .
e. Jelaskan apakah konfigurasi elektron ini stabil atau tidak. Jika stabil,
tentukan periode osilasi elektron ini, jika diketahui massanya adalah m.

15

Cermin Parabolik

Sebuah sistem yang dapat memanaskan air akan sangat berguna untuk
berbagai hal, mulai dari kebutuhan rekreasi sampai kebutuhan energi. Kita
akan meninjau salah satu cara untuk memanaskan air dengan cara yang ramah
lingkungan.
Tinjau sebuah cermin yang dibentuk menjadi parabola yang “menghadap”
ke atas dengan jarak fokus ke “lembah” parabola s , lebar parabola (jarak
2 ujung tertinggi parabola) 2d, dan memanjang sejauh L ke arah sumbu z
(parabola berada di bidang xy). Sifat khusus parabola adalah dapat memantulkan semua cahaya yang datang sejajar sumbu simetrinya menuju satu titik
yang disebut sebagai titik fokus parabola. Bentuk cermin ini membuat titiktitik fokus setiap parabola membentuk garis lurus sejajar sumbu z. Jika air
dialirkan sepanjang garis tersebut, air dapat dipanaskan dengan mudah karena
intensitas cahaya matahari di sekitar garis tersebut akan jauh lebih besar daripada intensitas disekitarnya. Anggap terdapat pipa silindris (berjari-jari a yang
dapat dianggap jauh lebih kecil daripada parameter panjang lainnya) yang dipasang berhimpit dengan garis titik-titik fokus parabola yang digunakan untuk
mengalirkan air dengan kecepatan v.
Secara kuantitatif, persamaan parabola (dinyatakan dalam s) dapat ditulis
sebagai
y=

x2
4s

a. Tentukan luas cermin yang diperlukan untuk membuat parabola tersebut.
b. Jika intensitas cahaya matahari yang datang ke permukaan bumi adalah
I, tentukan intensitas cahaya matahari (I 0 ) tepat di atas permukaan pipa
tersebut.
Ketebalan pipa dapat dianggap jauh lebih kecil daripada a. Jika terdapat dua
medium yang berbeda dengan suhu yang berbeda, maka aliran kalor di permukaan batas kedua medium dapat ditulis sebagai
dQ
= kA · ∆T
dt
14

dimana dQ
dt adalah aliran kalor per waktu di permukaan batas (kalor mengalir
dari medium dengan suhu yang lebih tinggi), k adalah koefisien film dari permukaan batas kedua medium, A adalah luas permukaan batas, dan ∆T adalah
perbedaan temperatur kedua medium. Koefisien film antara pipa dan udara
adalah k1 , dan koefisien film antara pipa dengan air adalah k2 . Kapasitas panas
J
· K) adalah ca . Karena panjang pipa, maka akan terdapat variasi
dari air ( kg
temperatur pipa (T1 (x)) dan air (T2 (x)) sebagai fungsi dari posisi di dalam pipa.
Anggap suhu udara selalu konstan dan uniform sebesar T0 .
c. Tinjau aliran kalor di elemen kecil pipa dan air. Dengan menganggap
temperatur pipa dimana-mana tidak berubah terhadap waktu, tuliskan
dua persamaan aliran kalor di elemen kecil pipa dan air.
d. Tuliskan persamaan diferensial untuk T2 (x) saja.
e. Tentukan perbedaan temperatur air tepat ketika masuk dan keluar pipa,
dengan menganggap suhu di ujung dimana air mulai masuk adalah T0 .
Setelah air keluar dari pipa, maka temperatur air akan perlahan lahan turun
seiring air bergerak di pipa lanjutan (dengan material yang identik) yang masih
memanjang sejauh L0 dari posisi air keluar dari pipa pertama.
f. Tuliskan persamaan diferensial untuk T2 (x) di pipa lanjutan ini. Temperatur pipa dianggap tidak berubah terhadap waktu.
g. Tentukan temperatur air tepat ketika keluar dari pipa lanjutan ini.
h. Tentukan kecepatan air yang dapat membuat temperatur di sub-soal g)
maksimum, dan tentukan nilai temperatur maksimum tersebut.
Petunjuk: integral dibawah ini mungkin berguna.
Z
1
dx = ln x + C
x
Z p
p
p
x
1
1 + x2 dx =
1 + x2 + ln (x + 1 + x2 ) + C
2
2

16

Disipasi dalam sistem Termodinamika

Dalam soal ini, kita akan membahas tentang kontribusi dari disipasi kepada
efisiensi sebuah sistem Termodinamika (Mesin dan dua reservoir ). Perhatikan
gambar di bawah ini. Skema ini adalah aliran energi (baik dalam bentuk kalor
maupun usaha) dalam sistem selama satu siklus penuh.
Secara umum, dalam satu siklus, mesin bekerja dalam 4 tahap, yaitu
1. Mesin mengalami kontak dengan reservoir panas dengan suhu Th , sehingga
kalor sebesar Qe,h diberikan dari reservoir panas kepada mesin M .

15

Figure 2: Soal No. 16
2. Mesin mengerjakan usaha sebesar Wh selama masih kontak dengan reservoir panas. Selama ini juga, terdapat energi yang berubah bentuk dari
usaha mesin menjadi energi disipasi Wf,h . Energi ini diserahkan kembali kepada mesin dan reservoir panas berturut-turut sebesar αh Wf,h dan
(1−αh )Wf,h , dimana αh adalah fraksi energi disipasi yang diterima mesin.
3. Mesin mengalami kontak dengan reservoir dingin dengan suhu Tc , sehingga
kalor sebesar Qe,c diberikan dari mesin M kepada reservoir dingin.
4. Mesin mengerjakan usaha sebesar Wc selama masih kontak dengan reservoir dingin. Selama ini juga, terdapat energi yang berubah bentuk dari
usaha mesin menjadi energi disipasi Wf,c . Energi ini diserahkan kembali kepada mesin dan reservoir dingin berturut-turut sebesar αc Wf,c dan
(1 − αc )Wf,c , dimana αc adalah fraksi energi disipasi yang diterima mesin.
Perlu diketahui bahwa langkah 1) – 2) dan langkah 3) – 4) bisa saja terjadi
secara bersamaan, tergantung dari bagaimana detil dari setiap proses. Skema
yang ditampilkan diatas menggunakan variabel W = Wh +Wc dan Wf = Wf,h +
Wf,c . Asumsikan semua energi yang didisipasikan hanya diterima oleh mesin
dan kedua reservoir, dan tidak bisa diterima oleh lingkungan.
a. Efisiensi sistem ini (ηf ) didefinisikan sebagai rasio antara usaha yang diterima lingkungan (bukan yang disuplai oleh mesin) dengan banyaknya
kalor yang keluar dari reservoir panas dalam satu siklus. Nyatakan ηf
dengan menggunakan definisi ini.

16

b. Tuliskan persamaan Hukum Termodinamika 1 untuk sistem selama satu
siklus ini, lalu nyatakan ηf dalam variabel lainnya kecuali W , Wh , dan
Wc .
c. Perubahan entropi dari suatu bagian dari sistem (misalnya reservoir) didefinisikan sebagai
Z
dQ
∆S =
T
Integral tersebut dievaluasi selama satu siklus. Jika temperatur bagian
dari sistem yang ditinjau konstan, maka
∆S =

∆Q
T

Dengan mengabaikan perubahan entropi mesin, tuliskan pertidaksamaan
yang anda dapatkan dari Hukum Termodinamika 2. Selanjutnya, buktikan
bahwa efisiensi dari sistem ini memenuhi hubungan di bawah ini
ηf ≤ 1 −

Tc
Th

d. Asumsikan Wf,h = Wf,c (Untuk sub-soal selanjutnya, asumsi ini akan
W
terus digunakan). Nyatakan ηf dalam β = Wf dan η, yang didefinisikan
sebagai
Qe,c − αc Wf,c
Qe,h + αh Wf,h

η =1−
Jelaskan pula makna fisis dari η.

Selanjutnya, kita akan menggunakan hasil yang sudah didapat sebelumnya
untuk mencari efisiensi dari Mesin Stirling. Mesin ini menempuh 4 proses
dalam satu siklus, yaitu kompresi isothermal (dalam temperatur Tc ), pemanasan
isokhorik (dalam volume V1 ), ekspansi isothermal (dalam temperatur Th ), dan
pendinginan isokhorik (dalam volume V2 ). Asumsikan selama proses isokhorik,
mesin tidak melibatkan kedua reservoir.
e. Tuliskan persamaan-persamaan Hukum Termodinamika 1 dalam setiap
proses yang relevan. Nyatakan dalam r = VV21 dan variabel lainnya.
f. Nyatakan ηf untuk sistem ini dinyatakan dalam Wf dan variabel lainnya.

17

Mesin Fluidyne

Fluidyne Engine adalah mesin yang bekerja dengan menggunakan cairan
yang terletak di dalam 2 tabung U yang dihubungkan dengan pipa kecil yang
volumenya diabaikan. Perhatikan gambar di bawah ini.
Berikut disajikan beberapa detil dari sistem diatas.
17

Figure 3: Soal No. 17
1. Setiap cairan memiliki massa jenis ρL , luas permukaan A, dan panjang
cairan L. Perpindahan cairan di piston dan displacer dari posisi setimbangnya berturut-turut adalah x dan y.
2. Cairan di piston akan mengalami gaya gesek dari tabung U yang nilainya
adalah −bẋ, dimana b adalah konstanta. Gaya gesek di cairan di displacer
dapat diabaikan.
3. Ruangan 1 dan 2 pada gambar diatas tersambung dengan sebuah pipa kecil
yang ukurannya menjamin tekanan di kedua ruangan selalu sama setiap
saat. Pipa kecil ini juga mengizinkan gas di kedua ruangan berpindah
ruangan.
4. Ruangan 1 mengalami kontak dengan reservoir panas dengan suhu Th ,
ruangan 2 mengalami kontak dengan reservoir dingin dengan suhu Tc .
5. Dalam keadaan setimbang, setiap ruangan memiliki suhu, tekanan, dan
volume awal (Tc ,P0 ,V10 ) untuk ruangan 1 dan (Th ,P0 ,V20 ) untuk ruangan
2. Jika tidak dalam keadaan setimbang, maka setiap ruangan memiliki
suhu, tekanan, dan volume (T1 ,P ,V1 ) untuk ruangan 1 dan (T2 ,P ,V2 ) untuk ruangan 2.
6. Sistem ini berada dibawah pengaruh percepatan gravitasi g yang mengaah
kebawah.
Asumsi yang berlaku dalam sistem ini adalah
• Gas di kedua ruangan adalah gas ideal.
• Gas hanya dapat berpindah dari ruangan 1 ke ruangan 2, dan sebaliknya.
Gas tidak bisa keluar dari sistem ini.
18

• Kedua gas menjalani ekspansi/kompresi adiabatik dengan

cp
cv

= γ.

Sub-soal a) sampai e) akan membahas tentang persamaan dan hubungan yang
berlaku pada gas di sistem ini.
a. Tuliskan ekspresi energi dalam dari gas tersebut dan perubahan infinitesimalnya.
b. Tentukan suku dari perubahan infinitesimal energi dalam yang dapat
disamakan dengan usaha infinitesimal dari gas. Berikan justifikasi anda.
c. Selanjutnya, tuliskan persamaan yang hanya melibatkan variabel T1 , T2 ,
V1 , dan V2 .
d. Nyatakan T1 dan T2 dalam variabel V = V1 + V2 serta parameter lainnya. (Petunjuk: T1 (V ) dan T2 (V ) memiliki bentuk yang sama, dengan
perbedaan di konstantanya saja)
e. Nyatakan P dalam variabel V1 , V2 , dan V .
Selanjutnya, kita akan menganalisis pergerakan cairan di kedua tabung U tersebut.
f. Tuliskan persamaan gerak dari cairan di displacer. Bentuk dari solusi
persamaan tersebut dapat ditulis sebagai y(t) = y0 sin ωd t. Tentukan nilai
ωd .
g. Nyatakan V1 dan V2 dalam variabel x dan y.
h. Untuk penyederhanaan, selanjutnya akan digunakan pendekatan VAx
1
10
Ay
dan V20  1. Nilai V10 dan V20 dianggap seordo. Nyatakan P dalam
variabel x dan y.
i. Tuliskan persamaan gerak cairan di piston.
j. Dalam keadaan tunak (solusi transien dari persamaan tersebut bisa diabaikan), solusi dari persamaan tersebut dapat ditulis sebagai x(t) =
x0 sin (ωd t + φ). Tentukan nilai x0 dan φ. Gunakan variabel yang anda
nyatakan sendiri untuk menyederhanakan jawaban anda, dengan tetap
menjelaskan makna fisis dari variabel yang anda nyatakan.

19

Judul: Soal-soal Latihan Untuk Ksn Fisika

Oleh: Yuwanza Ramadhan


Ikuti kami