Soal Soal Eksponensial

Oleh Alfan Dhacozta

13 tayangan
Bagikan artikel

Transkrip Soal Soal Eksponensial

MAKALAH
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN
LOGARITMA

OLEH
RIZKHA SEFRIL ERY P (09320003)
SARWO EDY WIBOWO (09320036)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2010

Persamaan dan pertidaksamaan eksponen

1. Sifat – sifat Fungsi Eksponen
Untuk menentukan penyelesaian eksponen dapat dilakukan dengnan
menggunakan sifat – sifat berikut ini :
a. am  an = am +n
b. am : an = a( m- n )
c. (am)n = amxn
d. ( am ) = amn
e. a-m =

1
am

f. a 0 = 1
Contoh soal :
Sederhanakanlah soal dibawah ini :
(3x3 × y-5) (-3x-8 × y9) = ....
Jawab :
(3x3 × y-5) (-3x-8 × y9) = (3x2) (-3x-8) (y-5) (y9)
= (3) ( -3)x2 . x-8 . y-5 . y9
= -9x-6 . x2-8 . y-5+9
= -9x-6 . y4
9 y4
=- 6
x

2. Persamaan eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan
pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh – contoh berikut :
 42x+1 = 32x-3
merupakan persamaan eksponen yang eksponennya
memuat variabel x.

 (y + 5)5y-1 = (y + 5)5-y
merupakan persamaan eksponen yang
eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya :
a. af(x) = am
jika af(x) = am , a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = m
contoh soal :
tentukan penyelesaian 3 = 271-x
jawab :
3

= 271-x

31

= 33(1-x)

3(1 - x) = 1
1–x

=

1
3

x

=

2
3

Jadi, penyelesaian 3 = 271-x adalah x =

2
3

b. af(x) = ag(x)
jika af(x) = ag(x) , a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x)
contoh soal :
tentukan penyelesaian 25x+3 = 5x-1
jawab :
25x+3
= 5x-1
52(x+3)
= 5x-1
2(x + 3) = x – 1
2x + 6
=x–1
X
= -7
Jadi, penyelesaian 25x+3 = 5x-1 adalah x = -7

c. f(x)g(x) = f(x)h(x)
jika f(x)g(x) = f(x)h(x) , maka penyelesaiaan adalah sebagai berikut :
 g(x)= h(x)
 f(x) = 1
 f(x) = 0 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
 f(x) = -1 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keuanya
ganjil
contoh soal :
tentukan himpunan penyelesaian (3 x−10)x = (3 x−10)2x
jawab :
= (3 x−10)2x
(3 x−10)x
2

2

 X2 - 2x = 0
X(x – 2) = 0
X = 0 atau x = 2
 3x – 10 = 0
3x
= 10
X

=

10
3

 3x – 10 = 1
3x
= 11
X

=

11
3

Sekarang periksa apakah untuk x =

10
, g(x) dan f(x) keduanya positif ?
3

10
10 2
100
) = ( ¿¿ =
>0
3
3
9
10
10
20
h( ) = 2 .
=
>0
3
3
3
10
10
jadi untuk x =
, g(x) dan h(x) keduanya positif, sehingga x =
3
3

g(

merupakan penyelesaian.
 3x – 10 = -1
3x
=9
x
=3
Sekarang periksa apakah untuk x = 3, g(x), dan h(x) keduanya genap
atau keduanya ganjil ?
G(3) = 32 = 9 dan h(3) = 2. 3 = 6
Perhatikan bahwa untuk x = 3, g(x) ganjil dan h(x) genap sehingga x = 3
bukan penyelesaian.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian (3 x−10)x
adalah {0, 2,

2

=

(3 x−10)2x

10 11
, }
3 3

3. Pertidaksamaan eksponen
Sebelumnya kita telah mengetahui sifat – sifat fungsi eksponen, yaitu sebagai
berikut :
 Untuk a > 1, fungsi f(x) = a x merupakan fungsi naik, artinya
untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) <
f(x2).
 Untuk 0 < a < , fungsi f(x) = a x merupakan fungsi turun. Artinya,
untuk setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) >
f(x2).
Sifat – sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian 2x+2 > 16x-2 = ............
Jawab :
2x+2

> 16x-2

2x+2

> 24(x-2)

x + 2 > 4(x – 2) .......................... a > 1, fungsi naik
x + 2 > 4x – 8
3x

< 10

x

<

10
3
10

jadi, himpunan penyelesaian adalah HP = { x x < 3 , x ∈ R }

Persamaan dan pertidaksamaan logaritma

1. sifat – sifat fungsi logaritma
Dikelas X telah dipelajari sifat – sifat logaritma. Secara umum bentuk
logaritma dituliskan
ab = c ⟺ alog c = b
dengan a > 0 dan a ≠ 1
sifat sifat logaritma :
 alog 1 = 0
 alog a = 1





1
= -1
a
a
log a b = 1
alog

log b + alog c = alog bc
b
a
log b −¿ alog c = alog
c
a

 a a logb = b


log b = clog b clog a ❑


a

2. Persamaan logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus
atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. Perhatikan contoh berikut
ini :
 log x + log (2 x +1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang
numerusnya memuat variabel x.
 5log 4 m + 5log m2 = 0 merupakan persamaan logaritma yang
numerusnya memuat variabel y.

Ada beberapa bentuk persamaan logaritma ini, diantaranya :
a) alog f (x) = alog m
jika alog f (x) = alog m, f ( x) > 0, maka f ( x) = m.
Contoh soal :
Tentukan penyelesaian 2log (x −2)= 4
Jawab :
2
log (x −2) = 4
2
log (x −2) = 2log 24
x–2
= 24
x
= 18
jadi, penyelesaian 2log (x −2)= 4 adalah x = 18
b) alog f (x) = alog g(x )
jika alog f (x) = alog g(x ), a > 0, a ≠ 1, f ( x) > 0, dan g ¿ ) > 0 maka
f ( x) = g ¿ ).
Contoh soal :
Tentukan penyelesaian 7log (10 x +2) = 7log ¿
Jawab :
7
log (10 x +2) = 7log ¿
10x + 2
= 16x  8
10x  16x
=  8 2
 6x
=  10
x

=

10
6

sekarang selidiki apakah f ( x) > 0, dan g ¿ ) > 0
f

( 106 )=10( 106 )+2

100
+2
6
100 12 112
¿
+ =
6
6
6
10
10
g
=16
−8
6
6
160 128 42
¿

=
16
16 16
¿

( ) ( )

Karena untuk x =

10
10
, f ( x) > 0, dan g ¿ ) > 0, maka x =
6
6

merupakan penyelesaian.
Jadi, penyelesaian 7log (10 x +2) = 7log ¿ adalah x =
c)

f(x)

log g(x ) = f(x)log h( x )

10
6

jika f(x)log g( x ) = f(x)log h( x ), f ( x) > 0, g ¿ ) > 0, h ¿ ) > 0, dan f (x) ≠ 1,
maka g ¿ ) = h ¿ ).
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian x-3log (x +1) = x-3log (4 x +10).....
Jawab :
log ( x+1 )

log ( 4 x +10 )

x-3

=

x-3

x+1

= 4x + 10

x  4x

= 10  1

-3x
=9
X
= -3
sekarang selidiki apakah f ( x) > 0, f (x) ≠ 1, g ¿ ) > 0
dan h ¿ ) > 0
f(-3) = -3  3 = -6 < 0
g(x) = -3 + 1 = -2 < 0
oleh karena untuk x = -3 f ( x) < 0 maka x = -3 bukan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian dari x-3log (x +1) = x-3log ( 4 x +10) adalah
Ø

3. Pertidaksamaan Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat – sifat fungsi
logaritma, yaitu sebagai berikut :
 untuk a > 1, fungsi f (x) = alog x merupakan fungsi naik. Artinya,
untuk setiap setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan hanya jika
f(x1) < f(x2).
 Untuk 0 < a < 1, fungsi f (x) = alog x merupakan fungsi turun.
Artinya, untuk setiap setiap x1, x2 ∈ R berlaku x1< x2 jika dan
hanya jika f(x1) > f(x2).
Sifat – sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian 3log (x +5) > 0
Jawab :

3

log( x +5) > 0

3

log ( x +5) > 3log 1

x + 5 > 1 ............................. karena a > 1, maka fungsi naik
x > -4
perhatikan pula bahwa numerusnya harus lebih dari nol, berarti
x + 5 > 0. Di dapat x > -5
jadi himpunan penyelesaian 3log ( x +5) > 0 adalah HP = { x x > -5 atau x > 4,x∈ R}

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut
log x - log 3
x
log
3

x
3

= log ( x−3 )
= log ( x−3 )
= ( x−3 )

3( x – 3)

= x

3x – 9

=x
2x

= 9

x

=

9
2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah x =

2. 2log( x 2 – 2 x+ 4) = 2log (x + 4)
x2 – 2x + 4 = x + 4
x2 – 2x-x + 4-4 = 0

9
2

x2 – 3x

=0

x(x – 3)

=0

x = 0 atau x = 3
Selidiki apakah f(x)  0 dan g(x)  0
f(0)

= x2 – 2x + 4
= 02 – 2.0 + 4
= 4 (4  0 )

g(0)

=x+4
=0+4
=4

f(3)

= x2 – 2x + 4
= 32 – 2.3 + 4
= 7 (7  0 )

g(3)

=x+4
=3+4
=7

Jadi penyeleaiannya x = 0 dan x = 3

3. tentukan penyelesaiaan 81x+2

= 3x+2

34(x+2)

= 3x+2

4(x+2) = x + 2
4x + 8 = x + 2
4x – x = 2– 8
3x = -6
x = -2
Jadi penyelesaian

81x+2 = 3x+2 adalah x = -2

4. tentukanlah penyelesaian 9 = 7292-4x
91 = 93(2-4x)
3(2-4x) = 1
6 – 12x = 1
-12x = 1– 6
-12x = -5
x

=

5
12

Jadi penyelesaian 9 = 7292-4x adalah x =
5. Tentukan penyelesaian dari 4x+5

=2

22(x+5)

=2

2(x + 5)

=1

2x + 10

=1

2x
x

= 1– 10
= -9

Jadi penyelesaian dari 4x+5 = 2 adalah x = -9

5
12

Daftar Pustaka :
H.F.S, Cecep Anwar. 2008. Matematika Aplikasi. Jakarta: PT. Mutiara
Bangsa
Noormandiri, B.K dan Sucipto Endar, 2004. Matematika SMA Untuk Kelas
X. Jakarta: Erlangga
Andi. 2003. Metode Smart Solution Matematika. Yogyakarta: Primagama

Judul: Soal Soal Eksponensial

Oleh: Alfan Dhacozta


Ikuti kami