Matematika Teknik Kimia (4 Sks

Oleh Ary Rahmansyah

596,4 KB 9 tayangan 0 unduhan
 
Bagikan artikel

Transkrip Matematika Teknik Kimia (4 Sks

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA (4 SKS) Matematika Teknik Kimia adalah salah satu mata kuliah yang cukup penting dalam ilmu Teknik Kimia, karena mempelajari dasar-dasar perhitungan baik untuk analisis proses maupun perancangan alat. Mata Kuliah ini menjadi momok bagi mahasiswa Teknik Kimia. Akan tetapi pada tulisan ini akan dibahas dasar-dasar pada mata kuliah ini secara sederhana sehingga diharapkan akan lebih mudah dipahami. Sedangkan untuk pengembangannya bisa belajar lebih jauh pada buku-buku referensi yang banyak jumlahnya. 1. Pengolahan Data Teknik Bab ini mempelajari bagaimana mengolah data-data percobaan / penelitian menjadi sebuah persamaan pendekatan yang sederhana sehingga dapat digunakan untuk memprediksikan pada kondisi yang lain 2. Pemodelan Matematis 3. Penyelesaiana Persamaan Diferensial Biasa 4. Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Deret BAB I PENGOLAHAN DATA TEKNIK 1. Pendahuluan Dalam disiplin ilmu teknik kimia akan banyak dijumpai data-data yang merupakan hasil penelitian atau percobaan. Akan tetapi data-data ini akan sulit untuk dibaca jika idak diolah terlebih dahulu. Oleh karena itu data-data tersebut perlu diolah agar bias dibaca oleh orang lain. Hasil pengolahan data-data percobaan ini biasanya ditampilkan dalam bentuk persamaan maupun dalam bentuk grafis. Misal pada fluida yang mengalir dalam suatu pipa, hubungan antara bilangan Reynold (Nre) dengan factor friksi pipa (f), dalam bentuk grafik dalam digambarkan sebagai berikut : Sedangkan dalam bentuk persamaan dapat dinyatakan dengan : Secara sepintas akan mudah dibaca jika data ditampilkan dalam bentuk grafik, akan tetapi mempunyai kekurangan karena tingkat pembacaan orang akan berbeda-beda. Pembacaan tiap orang akan sama nilainya jika merupakan hasil perhitungan sebuah persamaan, akan tetapi hal ini lebih sulit akan bentuk persamaan yang kadangkala rumit/kompleks. 2. Metode Grafis dan Persamaan Pendekatan Secara umum data-data hasil percobaan dapat dibentuk menjadi beberapa bentuk grafis dengan persamaan pendekatan yang tertentu. 1. Persamaan linier Bentuk umum persamaan linier adalah y = ax + b Adapun bentuk grafisnya adalah : y Dimana : Data Percobaan Persamaan pendekatan Persamaan untuk mendapatkan harga konstanta pada persamaan linier adalah : n = jumlah pasangan data Contoh 1: Data dari percobaan menunjukkan hubungan antara temperatur dengan konversi pada suatu reaski diperoleh data sebagai berikut : No Temperatur K Konversi 1 300 0.52 2 330 0.56 3 360 0.64 4 390 0.74 5 420 0.78 6 450 0.81 7 480 0.85 Buatlah persamaan pendekatannya : Penyelesaian : Karena plot data diperoleh grafik yang hampir linier, maka persamaan pendekatannya adalah linier. X = aT + b No x y x.y x^2 1 300 0.52 156 90000 2 330 0.56 184.8 108900 3 360 0.64 230.4 129600 4 390 0.74 288.6 152100 5 420 0.78 327.6 176400 6 450 0.81 364.5 202500 7 480 0.85 408 230400 Jml 2730 4.9 1959.9 1089900 = 0,0019 = -0,0568 2. Persamaan logaritmik Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = axn Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi : log y = log a + n log x y’ = ax’ + b dimana : y’ = log y x’ = log x Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk : log x vs log y pada koordinat linier log y log x x vs y pada koordinat logaritmik y Contoh 2. Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae adalah sebagai berikut : Berat biomassa (m) = 0.2 gram Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml No Co Cs (mg/l) (mg/l) 1 20 2 qs data (mg/g) % Penyerapan 9.5325 5.23375 52.3375 40 22.2425 8.87875 44.39375 3 60 34.9525 12.52375 41.74583 4 80 47.6625 16.16875 40.42188 5 100 63.55 18.225 36.45 Hubungan antara Cs dengan qs adalah : Jika isotherm kesetimbangan yang dipakaia adalah Model Isotherm Freundlich, dengan persamaan : qs = KFCs1/n Carilah konstanta pada isotherm Freundlich tersebut : Penyelesaian : Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : log qs = log KF + (1/n) log Cs y’ = ax’ + b No x = log Cs y = log qs x2 xy 1 0.979207 0.718813 0.958846 0.703867 2 1.347184 0.948352 1.814904 1.277604 3 1.543478 1.097734 2.382325 1.694329 4 1.678177 1.208676 2.816277 2.028373 5 1.803116 1.260668 3.251226 2.273129 Total 7.351161 5.234243 11.22358 7.977302 Menghitung harga a : ∑x ∑y – n ∑xy ( ∑x )2 – n ∑x2 (7.351161) (5.234243) – 5 (7.977302) (7.351161)2 – 5 (11.22358) a = 0.677828 Menghitung harga b: ∑x ∑xy - ∑x2 ∑y ( ∑x )2 – n ∑x2 (7.351161) (7.977302) – (11.22358) (5.234243) (7.351161)2 – 5 (11.22358) b = 0.050284 Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan: y = 0.677828 x + 0.050284 log qs = 0.677828 log Cs + 0.050284 Sehingga diperoleh harga (1/n) dan KF, sbb : 1/n = 0.677828 KF = 1.12275242 (log-1 b) Harga kf dan 1/n disubstitusikan persamaan isotherm freundlich akan diperoleh harga qs model (perhitungan) dan persen kesalahan : No qs data qs model % Kesalahan 1 5.23375 5.176282854 1.09801091 2 8.87875 9.192698152 3.535949903 3 12.52375 12.48811818 0.284513983 4 16.16875 15.40987089 4.693492756 5 18.225 18.72776711 2.75866727 % Kesalahan rata-rata 2.474126964 3. Persamaan eksponensial y = aebx Bentuk umum persamaan logaritmik adalah Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi : ln y = ln a + bx y’ = ax + b dimana : y’ = ln y x’ = x Contoh 3. Pada suatu reaksi kimia diperoleh data hubungan antara temperatur (T) dengan harga konstanta kecepatan reaksi (k) sebagai berikut : No Temperatur, K k. 1/menit 1 300 0.0012 2 330 0.0017 3 360 0.0025 4 390 0.0036 5 420 0.0042 Jika hubungan antara k dan T mengikuti persamaan Arrhenius : k = A.exp(-E/RT) Carilah harga A dan E!. Penyelesaian : Persamaan Arrhenius dapat dilinierkan menjadi : ln k = ln A – E/RT y’ = b – a x’ dimana : y’ = ln k x = 1/T b = ln A  intersep a = -E/R  slope= koefisien arah= tg ã = gradien --No T, K 1 300 2 k, 1/mnt x=1/T y=ln k xy x^2 0.0012 0.003333 -6.72543 -0.02242 1.11111E-05 330 0.0017 0.00303 -6.37713 -0.01932 9.18274E-06 3 360 0.0025 0.002778 -5.99146 -0.01664 7.71605E-06 4 390 0.0036 0.002564 -5.62682 -0.01443 6.57462E-06 5 420 0.0042 0.002381 -5.47267 -0.01303 5.66893E-06 0.014086 -30.1935 -0.08584 4.02535E-05 Dari hasil perhitungan akan diperoleh : Harga konstanta pada persamaan linier (a dan b) : a= -1317,19 = - E/R  E = - a * R b = -2,17002 = ln A  A = eb Harga konstanta pada persamaan Arrhnius ( A dan E) : A = 0,114175 E = 2728529 cal/gmol K 4. Persamaan berbentuk Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : y’ = ax’ + b dimana : y’ = 1/y x’ = 1/x Contoh 4. Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae adalah sebagai berikut : Berat biomassa (m) = 0.2 gram Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml No Co Cs qs data % Penyerapan (mg/g) (mg/l) (mg/l) 1 20 9.5325 5.23375 52.3375 2 40 22.2425 8.87875 44.39375 3 60 34.9525 12.52375 41.74583 4 80 47.6625 16.16875 40.42188 5 100 63.55 18.225 36.45 Hubungan antara Cs dengan qs adalah : Jika isotherm kesetimbangan yang dipakaia adalah Model Isotherm Langmuir, dengan persamaan : Carilah konstanta pada isotherm Langmuir tersebut: Penyelesaian : Persamaan dapat dilinierkan menjadi : 1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks Jika data-data dimasukkan akan diperoleh : No Co Cs 1/Cs = x qs 1/qs = y 1 20 9.5325 0.104904 5.23375 0.191068 2 40 22.2425 0.044959 8.87875 0.112628 3 60 34.9525 0.02861 12.52375 0.079848 4 80 47.6625 0.020981 16.16875 0.061848 5 100 63.55 0.015736 18.225 0.05487 No x y x2 xy 1 0.104904 0.191068 0.011005 0.020044 2 0.044959 0.112628 0.002021 0.005064 3 0.02861 0.079848 0.000819 0.002284 4 0.020981 0.061848 0.00044 0.001298 5 0.015736 0.05487 0.000248 0.000863 Total 0.21519 0.500262 0.014533 0.029553 ∑x ∑y – n ∑xy ( ∑x )2 – n ∑x2 (0.21519) (0.500262) – 5 (0.029553) (0.21519)2 – 5 (0.014533) Menghitung harga a : a = 1.521983 Menghitung harga b : ∑x ∑xy - ∑x2 ∑y ( ∑x )2 – n ∑x2 (0.21519) (0.029553) – (0.014533) (0.500262) (0.21519)2 – 5 (0.014533) b = 0.034549 Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan : y = 1.521983 x 0.034549 atau 1.521983 Cs 1 qs = + 0.034549 1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks Sehingga diperoleh harga qmaks dan b, sbb : 1/qmaks = 0.034549 maka qmaks = 28.94419 1/qmaks b = 1.521983 maka b = 0.0227 Harga Cs disubstitusikan ke persamaan (B.2.1) untuk memperoleh harga qs model (perhitungan). No Co Cs 1/qs (model) qs model 1 20 9.5325 0.194212 5.149019 2 40 22.2425 0.102976 9.710997 3 60 34.9525 0.078094 12.80515 4 80 47.6625 0.066482 15.04172 5 100 63.55 0.058499 17.09442 Perhitungan % kesalahan : % Kesalahan = x 100% qs data-qs model) qs data No qs data qs model % Kesalahan 1 5.23375 5.149019 1.618937 2 8.87875 9.710997 9.37347 3 12.52375 12.80515 2.24695 4 16.16875 15.04172 6.970406 5 18.225 17.09442 6.203459 % Kesalahan rata-rata 5.282644 3. Metode Interpolasi Kadangkala data-data hasil penelitian/percobaan diberikan dalam bentuk table, sehingga dalam pembacaan untuk suatu nilai tertentu digunakan metode interpolasi. Tabel yang sering dipakai adalah steam table. Persamaan dasar metode interpolasi : Misal untuk suatu variabel bebas dan terikat : X Y Xo Yo X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 Berapa harga Y pada nilai X1 yang terletak diantara Xo dan X2? Contoh 2. Pada steam tabel pada steam jenuh terdapat nilai Hfg untuk masing-masing temperatur sebagai berikut : T, oF Hfg 100 950 120 942 150 935 Berapa harga Hfg pada T = 130 oF? Penyelesaian ; H130 = H120 + = 942 + = 942 – 2,333 = 939,667

Judul: Matematika Teknik Kimia (4 Sks

Oleh: Ary Rahmansyah


Ikuti kami