Modul Matematika Ekonomi

Oleh Bahrus Syafa'at

4,2 MB 4 tayangan 0 unduhan
 
Bagikan artikel

Transkrip Modul Matematika Ekonomi

OLEH NI NYOMAN JULI NURYANI, SE.MM I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. HIMPUNAN BILANGAN FUNGSI FUNGSI LINIER FUNGSI KUADRAT PENERAPAN FUNGSI DALAM BISNIS DAN EKONOMI MATRIK DAN DETERMINAN PENGGUNAAN MATRIK & DETERMINAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI HIMPUNAN   Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.  Enumerasi  Simbol-simbol  Notasi Baku Pembentuk Himpunan  Diagram Venn  Himpunan  Himpunan  Himpunan  Himpunan  Himpunan  Himpunan Kosong Bagian (Subset) yang Sama yang Ekivalen Saling Lepas Kuasa (intersection)  Gabungan (union)  Komplemen (complement)  Selisih (difference)  Beda Setangkup (Symmetric Difference)  Perkalian Kartesian ( cartesian product)  Irisan n A1  A2  ...  An   Ai n i 1 A1  A2  ...  An   Ai i 1 n A1  A2  ...  An  i1 Ai n A1  A2  ...  An   A i i 1 1. Hukum identitas - A ᴗØ = A - A ᴖU = A 2. Hukum null/dominasi: - A ᴖØ = Ø - A ᴗU = U 3. Hukum komplemen: - Aᴗ A = U - Aᴖ A = Ø 4. Hukum idempoten: - Aᴗ A = A - Aᴖ A = A 5. Hukum involusi: - (A)= A • 6. Hukum penyerapan (absorpsi): - A ᴗ (A ᴖ B) = A - Aᴖ ( A ᴗ B) = A 7. Hukum komutatif: - A ᴗ B = Bᴗ A - A ᴖB = B ᴖA 8. Hukum asosiatif: - Aᴗ (B ᴗC) = (Aᴗ B) ᴗ C - A ᴖ (Bᴖ C ) = ( A ᴖ B) ᴖ C 9. Hukum distributif: - Aᴗ (Bᴖ C) = (A ᴗB) ᴖ (Aᴗ C) - Aᴖ (Bᴗ C) = (Aᴖ B) ᴗ (A ᴖC) 10 Hukum De Morgan: - A ᴖB = A ᴗB - A ᴗB = A ᴖB 11 Hukum 0/1 - Ø=U - U=  Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar Prinsip Dualitas pada Himpunan Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti  ,  ,  U, U  , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. Untuk dua himpunan A dan B: A  B = A + B – A  B A  B = A +B – 2A  B  Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga: a. A1  A2  … = A, dan b. Ai  Aj =  untuk i  j • • • Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.  Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.   Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemenelemen di dalam multiset semua berbeda. • • P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d } P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P Q = { a, a, c } • • P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P – Q = { a, e } P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }   Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa: ◦ Kesamaan (identity)  Contoh: Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)” ◦ Implikasi  Contoh: Buktikan bahwa “Jika A  B =  dan A  (B  C) maka selalu berlaku bahwa A  C”.     Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Pembuktian dengan menggunakan definisi BILANGAN BIL.PECAHAN BIL.BULAT NEGATIF BIL.BULAT 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bulat Asli Cacah Prima Rasional Irasional Komplek   Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol. Jika himpunan bilangan bulat dilambangkan B maka: B = {. . . -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}   Bilangan Asli adalah bilangan-bilangan bulat positif. Jika himpunan bilangan asli dilambangkan A, maka: A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}   Bilangan cacah adalah bilangan asli dan nol (0) Jika himpunan bilangan cacah dilambangkan C, maka: C = { 0,1,2,3,4,5,. . .}   Bilangan prima adalah bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan 1, dan hanya habis dibagi dirinya sendiri dan juga hanya habis dibagi oleh 1. Jika himpunan bilangan prima dilambangkan dengan P, maka: P = {2,3,5,7,11,13,. . .}   Bilangan rasional adalah bilanga yang dapat dinyatakan sebagai dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Jika himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q, maka: Q = {x│x = a dan b bulat dan b≠0} Contoh: Q= {2,3,4,5,6} Q= {-4,-3,-2,-1,0} Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai dengan a dan b bilangan bulat b ≠ 0.  Jika himpunan bilangan irrasional dilambangkan dengan Qc , maka: Qc = {x│x Real dan x ϵ Q} Contoh: Q = {√3,√5 ,√7 ,√1 } Qc = {π,2π,3π} Qc = {log 5,log 6, log 7}  c Bilangan komplek adalah sebuah bilangan yang berbentuk a + b, dengan a dan b bilangan-bilangan real dan “I” adalah lambang dari suatu bilangan yang bersifat bahwa, kuadratnya sama dengan -1, jadi i² =-1.  Jika himpunan bilangan komplek dilambangkan dengan K, maka: K = {a + b .i a,b adalah bilangan real} Contoh: K = { 5+2i, 5-2i, 4+8i,. . .}  FUNGSI 1. 2. 3. 4. PENGERTIA FUNGSI UNSUR-UNSUR FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI GRAFIK FUNGSI   Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang mengaitkan atau memasangkan setiap anggota A dengan satu dan hanya satu anggota B. Fungsi dari himpunan A ke B dapat dinyatakan sebagai berikut: f : A B  Artinya: Jika x ϵ A dan y ϵ B dan a dikaitkan dengan b maka f(a)=b dengan: 1. 2. 3. 4. A disebut daerah asal (domain) B disebut daerak kawan (kodomain) b desebut bayangan dari a Himpunan semua bayangan dari setiap x ϵ A disebut daerah hasil/ daerah jajahan atau range a. Cara Daftar Lajur b. Cara Penulisan Dengan Lambang c. Cara Grafik  Fungsi ditujukan dengan cara daftar lajur. X Y 1 -1 2 0 3 3 4 8 5 15 Lajur pertama mengandung yang elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut yang anggota pertamanya sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi sama. a. b. c. d. y = x² - 2x f(x) = x² - 2x f(x,y) ialah fungsi yang pasangan urutnya (x, x² - 2x) {(x,y) │ y = x² - 2x} Cara penulisan dengan lambang yang sering dipakai adalah cara a atau b, karena lebih singkat bila dibandingkan dengan cara yg lain. P 0 x a. Perubahan/Variabel b. Parameter & Koefisien c. Konstanta   Adalah suatu besarnya yang nilainya bisa berubah-ubah. Berdasarkan sifatnya di dalam suatu fungsi terdapat dua macam variabel - variabel bebas (independent variable) adalah variabel yang nilainnya tidak bergabung dari nilai variabel lainnya atau variabel yang nilainya boleh ditentukan sembarang. - variabel terikat (dependent variable) adalah variabel yang nilainya tergantung pada nilai variabel bebasnya.   Parameter adalah suatu konstanta tertentu yang nilainya belum ditetapkan, yang terkait langsung pada suatu variabel dalam sebuah fungsi. Parameter ini umumnya dilambangkan dengan huruf awal abjad Yunani atau Arab,misalnya:α, β, ϒ atau a, b dan c. Koefisien adalah bilangan (berupa konstanta tertentu yang nilainya telah ditetapkan) yang terkait langsung pada suatu variabel dalam sebuah fungsi, dan biasannya terletak di depan suatu variabel. Konstanta adalah bilangan yang (jika ada) turut membentuk sebuah fungsi dan tidak terkait langsung dengan suatu variabel. a. b. c. Dilihat dari operasinya - Fungsi aljabar - Fungsi transenden Dilihat dari hubungan antar variabel - Fungsi eksplisit - fungsi implisit Dilihat dari jumlah variabel bebas - Fungsi univariabel - Fungsi multivariabel  CONTOH GRAFIK f(x) Grafik fungsi f(x)= 2x-3 0 x  Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut: Ax + By + C = 0  Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi  Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain: ◦ (1) metode dua titik dan ◦ (2) metode satu titik dan satu kemiringan  Apabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah: • misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:  Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan (m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut: • Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka persamaan liniernya adalah:     Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 = m2). Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1≠m2). Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupaka kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan FUNGSI KUADRAT  Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan: f(x) = y = ax2 + bx + c dengan a, b, c  R dan a  0   Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola Coba gambarkan 6 Sketsa Grafik fungsi kuadrat! Untuk melukis grafik fungsi y = ax2 + bx + c diperlukan sebagai berikut: 1. Menentukan titik potong dengan sumbu x Hal ini didapat apabila y = f(x) = 0 jadi ax2 + bx + c = 0  Apabila akar-akarnya x1 dan x2 maka titik potong dengan sumbu x ialah (x1, 0) dan (x2, 0).      Ada tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itu. Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua buah titik (x1, 0) dan (x2, 0). Jika D = 0, grafik menyinggung di sebuah titik pada sumbu x di (x1, 0) Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x. 2. Menentukan titik potong dengan sumbu y Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c, maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,c) 3. Menentukan Sumbu Simetri  Grafik dari fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai simetri yang persamaannya x= b  2a 4. Menentukan Koordinat titik balik / titik puncak.  Fungsi y = ax2 + bx + c dapat diberi bentuk y= a  b (x + 2a D 2 )  4a + Parabola mempunyai titik balik minimum dengan koordinat  ( b 2a D , 4a  ) 5. Menghubungkan semua titik-titik sehingga membentuk parabola • • • • • • Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point) Fungsi Konsumsi dan Tabungan Model Penentuan Pendapatan Nasional   menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya   Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya   Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh kesamaan:  Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut dibawah ini, carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar!  Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawaran akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula BAB VII 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Bawah Matriks Baris kolom Nol Bujur Sangkar Diagonal Satuan (I) Skalar Segitiga Atas Segitiga Simetris 11. 12. 13. 14. Matriks Simetri Skew 1. aij = -aji, dan diagonalnya nol Matriks Tridiagonal Matriks Transpose Matriks Ortogonal 1. Matriks bujur sangkar yg memenuhi [A][A]T = [A]T[A]=[ I ]    Determinants are useful in eigenvalue problems and differential equations. Can be found only for square matrices. Simple example: 2nd order determinant 1 3 det A   1* 7  3 * 4  5 4 7  The determinant of a 3X3 matrix is found as follows: a11 a12 det A  a21 a22  a13 a23  a11 a22 a23 a32 a33  a12 a21 a23 a31 a33  a13 a21 a22 a31 a32 a32 on a33the RHS can be evaluated as The aterms 31 shown for a 2nd order determinant. det A  a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a14 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a11 0 0 0 a12 a22 0 0 a13 a23 a33 0 a14 a14 a34 a44 det A  a11 . a22 . a33 . a44       Bila semua unsur dari suatu baris/kolom = nol, determinan = nol. Harga determinan tidak berubah bila semua unsur baris diubah menjadi unsur kolom dan semua kolom menjadi baris. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau antara kolom dengan kolom akan mengubah tanda determinan Bila unsur-unsur baris/kolom dikalikan suatu faktor, maka determinan harus dikalikan juga. Bila suatu matriks ada dua baris/ dua kolom yg identik maka determinannya = nol Tanpa mengubah harga determinan semua unsur sebarang baris/kolom dapat dikalikan dgn sebuah faktor dan menambahkan atau mengurangkan dari sebarang baris/kolom  Cramer’s: If the determinant of a system of n equations with n unknowns is nonzero, that system has precisely one solution.  det(AB)=det(BA)=det(A)det(B) a11 a12 a13 A  a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 minor dari a21  a32 Kofaktor cij  (1) i j a13 a33 cij Penghitungan Determinan berdasar Ekspansi Baris ke-1 11 Det A  a11 (1) a22 a23 a32 a33 1 2  a12 (1) a21 a23 a31 a33 1 3  a13 (1) a21 a22 a31 a32     Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde matriks (n). Jika det matriks = 0, maka harus dilihat minor dari matrik tsb. Jika matriks bujursangkar di dalam determinan ≠ 0, maka rank =2. Matriks bujur sangkar orde n dengan rank = n (det A≠0) disebut matiks non-singular. Matriks zero memiliki rank = 0.    The rank of a matrix is simply the number of independent row vectors in that matrix. The transpose of a matrix has the same rank as the original matrix. To find the rank of a matrix by hand, use Gauss elimination and the linearly dependant row vectors will fall out, leaving only the linearly independent vectors, the number of which is the rank.  Menggunakan Eliminasi Gauss 1 3 3 A 1 4 3 1 3 4 Invers Matrik A 7 3 3 1 1 0 1 0 1 I II VI IX IV VIII III V VII 1 3 31 0 0 1 4 30 1 0 1 3 40 0 1 1 0 0a b c 0 1 0d e f 0 0 1g h i PENERAPAN MATRIKS DAN DETERMINAN    Metode Cramer Metode Gauss Seidel Menggunakan Invers Matriks ◦ Ax=b. maka x=A-1b  Metode Gauss      Menentukan invers suatu matrik Mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear yang simultan Determinan Matriks berordo 2x2 Determinan Matriks berordo 3x3 Adjoin Matriks 1. 2. 3. 4. 5. 6. MATEMATIKA TERAPAN UNTUK BISNIS & EKONOMI (DUMAIRY/BPFE YOGYAKARTA) MATEMATIKA UNTUK PERGURUAN TINGGI (YUSUF YAHYA,D.SURYADI H, AGUS S./GHALIA) MATEMATIKA EKONOMI (NATA WIRAWAN/KERARAS EMAS) MATEMATIKA EKONOMI (WAHYU WIDAYAT/BPFE YOGYAKARTA) MATEMATIKA DASAR (DANANG MURSITA/REKAYASA SAINS) MATRIKS (RUMIANTA/REKAYASA SAINS)

Judul: Modul Matematika Ekonomi

Oleh: Bahrus Syafa'at

Ikuti kami