Makalah Integral

Oleh Arvan Budi

13 tayangan
Bagikan artikel

Transkrip Makalah Integral

MAKALAH KALKULUS II
Volume Benda Putar Pada Sumbu X dan Y

Disusun Oleh :

Kelompok 1
Ketua

: Abdi Ramandha

Anggota

: 1. Abed Nego P.S
2. Anggi Fariz
3. Arlan Kurniawan
4. Arvan Budi Heryanto M.

Kelas

: IN2B

FAKULTAS TEKNIK
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
UNIVERSITAS BINA DARMA PALEMBANG
TAHUN AKADEMIK 2014/2015

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan yang maha kuasa, atas
izin dan rahmatnya penulis dapat menyelesaikan makalah kalkulus II ini tepat
pada waktunya tanpa halangan apapun.
Akhirnya dengan segala kerendahan hati izinkanlah penulis untuk
menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
menyusun makalah ini.
Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca
sangat di butuhkan. Harapan dari penulis semoga makalah ini dapat
bermanfaat bagi mahasiswa – mahasiswi Universitas Bina Darma Palembang.

Palembang,

Juni 2015

Penulis

Bab I
Pendahuluan
1.1

Latar Belakang
Kalkulus adlah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,

dan deret tak terhingga. Kalkulus Adalah ilmu mengenai perubahan,
sebagaiman geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.
Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi,dan
teknik; serta dapat memecahkan masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan
aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan
kalkulus

integral

kalkulus.pelajaran

yang

saling

kalkulus

berhubungan

adalah

pintu

melalui

gerbang

teorema

menuju

dasar

pelajaran

matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusu mempelajari fungsi dan
limit, yang secara umum dinamakan analisi matematika. Integral adalah
kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya
masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan hanya berfikir bagaimana
menyelesaikan maslah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
1.2

1.3

Rumusan Masalah
1.

Volume Benda Putar

2.

Contoh-contoh Volume Benda Putar

Tujuan
Untuk mempelajari bebrapa kegunaan integral seperti Volume Benda

Putar dalam kalkulus.

Bab II
Pembahasan
2.1

Volume Benda Putar
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adlah tabung

dengan besar volume adalah hasil kali luas alas dan tinggi tabung. Volume
dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasil kali antara luas alas
dan kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adlah panjang selang
(a,b) maka volume benda putar dihitung menggunakan integral tertentu
sebagai berikut :
b

V =∫ A ( x ) dx
a

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah
metode yaitu metode cakram dan cincin silinder.
METODE CAKRAM
Benda ruang hasil putaran yang paling sederhana adalah tabung tegak
atau bisa kita sebut sebagai cakram, yang dapat dibentuk dengan memutar
persegi panjang menurut suatu garis yang berimpit dengan salah satu sisinya,
seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan
volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.

Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang
terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan
pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar
yang volumenya,

Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n
buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,

Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak
cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat
mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.

Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode
cakram dapat dilihat seperti berikut.

Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya
vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus
volume benda putarnya adalah sebagai berikut.

Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis
horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.

Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan
volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan
sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat
ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x). Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik,

Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.

Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat
memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai
berikut.

METODE CINCIN SILINDER
Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu
tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan
tersebut

dikalikan

dengan

keliling

putaran.

Dikarenakan keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A,
maka volume = 2πr × A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu
putar.
Agar dapat lebih memahami perhatikan beberapa contoh dibawah ini

Contoh soal volume benda putar dengan metode cincin silinder
Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x?
Jawab :

Soal Volume Benda Putar
Carilah Volume benda putar yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi
oleh kurva y = 4 – X2 sumbu X dan ordinat pada x = 0 dan x = 3, diputar satu
putaran penuh mengelilingi sumbu X dan sumbu Y.

Penyelesaian :
Diputar pada Sumbu X

b

V =∫ πy dx
2

a

2

2
¿ ∫ π ( 4−x ) dx
2

0

2

2
4
¿ ∫ π ( 16−8 x + x ) dx
0

[

8
1
¿ π 16 x− x 3+ x5
3
5

]

2
0

[

]

8 3 1 5
¿ π 16 (2 )− (2) + (2) −0
3
5

[

¿ π 32−

64 32
+
3 5

]

¿ π [ 32−21,3+6,4 ]
¿ 17,1 π Satuan Volume

Diputar pada Sumbu Y

b

V =∫ 2 πxy dx
a

2

2
¿ ∫ 2 πx ( 4−x ) dx
0

2

3
¿ 2 π ∫ ( 4 x−x ) dx
0

[

]

[

]

4 2 1 4
¿2π
x− x
2
4
1 4
2
¿2π 2x − x
4

[

2
0

2
0

]

1 4
2
¿ 2 π 2(2) − (2) −0
4

¿ 2 π [ 8−4 ]

¿2π [4]
¿ 8 π Satuan Volume

Daftar Pustaka
Rumus matematika.2013.http://rumus-matematika.com/metode-menghitungvolume-benda-putar/.diunduh 29 Mei 2015. Pukul 15.45 wib.
Varbeg, Dale, dkk.2007.Jilid 1. Edisi 9.Jakarta : Erlangga.

Judul: Makalah Integral

Oleh: Arvan Budi


Ikuti kami