Makalah Matematikawajib

Oleh Ghina Nurf

309,4 KB 8 tayangan 0 unduhan
 


Bagikan artikel

Transkrip Makalah Matematikawajib

MAKALAH MATEMATIKAWAJIB KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk memenuhi tugas Matematika Wajib Oleh: Ghina Nur Fadhilah Kelas XI MIIA 6 SMA NEGERI 2 KOTA CIREBON Jl. Dr.Cipto Mangunkusumo No.1 2015 I. Pengertian Fungsi Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. x x Y=f(x) Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka: - himpunan A disebut domain (daerah asal), - himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f. Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f. Misal diketahui fungsi-fungsi: f : A → B ditentukan dengan notasi f(x) g : C → D ditentukan dengan notasi g(x) Domain = daerah asal (D) Kodomain = daerah kawan (K) Range = daerah hasil (R) a. Notasi Fungsi Suatu fungsi atau pemetaan umumnya dinotasikan dengan huruf kecil. Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B A disebut domain B disebut kodomain b. Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x Î A ke y Î B dikatakan y adalah peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x). Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A disebut range atau daerah hasil Contoh 1 Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2 Tentukan domain dari fungsi f. Jawab Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0. 1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1. Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1. Contoh 2 Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x Tentukan : a. f(x) b. f(-3) Jawab Misal y = x – 1 maka x = y + 1 karena f(x – 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6 f(y) = y2 + 7y + 6 a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = -6 Contoh 3: Fungsi f : A B tentukan domain, kodomain dan range 1 a 2 b 3 c 4 A Domain B = {a,b,c} Kodomain = {1,2,3,4} Range = {1,3,4} c. Macam-Macam Fungsi 1) Fungsi konstan (fungsi tetap) Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. 2) Fungsi linear Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear. Contoh soal Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya. X 0 -1,5 Y 3 0 (0,3) (-1,5,0) 3 -1,5 3) Fungsi kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. 4) Fungsi identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. 5) Fungsi tangga (bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk intervalinterval yang sejajar. 6) Fungsi modulus Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. 7) Fungsi ganjil dan fungsi genap Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. II. Fungsi Komposisi a. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A  B dan g : B  C x y=f(x ) f z=g(y ) g A B C h=gf Fungsi baru h = (g o f) : A  C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R f ∩ D g ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (g of)(x) untuk x = a adalah (g of)(a) = g(f(a)) Contoh 1: Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) Jawab: a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,2), (4,3)} c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3 d) (g o f)(4) Contoh 2: f : R  R ; f(x) = 2x² +1, g : R  R ; g(x) = x + 3 Tentukan : 1) (f o g)(x) 2) (g o f)(x) 3) (f o g)(1) 4) (g o f)(1) Jawab : 1. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 2. (g o f)(x) = g(f(x)) = g (2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 3. (f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33 4. (g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) =3+3 =6 Contoh 3: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2 = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 =  8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7 b. . Sifat-sifat Komposisi Fungsi Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas) Contoh 4: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x) ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2 (fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f( 1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 –2x2 Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) a. Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini. a. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan nilainya. b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 5 Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut. a. (g 􀁄 f)(1) Penyelesaian Cara 1 a. (g 􀁄 f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = (3x – 1)2 + 4 = 9x2 – 6x + 1 + 4 = 9x2 – 6x + 5 b. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 6: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x 2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1: (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12 g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12 3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5 Cara 2: f(x) = [g -1 o (g o f)](x) g(x) = 3 – 2x  g (x) = -1 f(x) = 3−x 2 3−( 2 x 2 +2 x−12) −2 x 2 −2 x +15 = =− x 2 −x+7,5 2 2 Contoh 7: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = Cara 1: 2x  5 (g o f)(x) = 12 x  6 2 x−5 12 x−6 g(f(x)) = 2x  5 g(2x-1) = 12 x  6 Misalkan: 2x – 1 = a  x = ( a+12 )−5 a+1 12( −6 2 ) 2 g(a) = g(a) = a+1−5 6 (a+1 )−6 = a−4 6a a+1 2 2 x−5 12 x−6 , tentukan rumus fungsi g(x)! x−4 6x g(x) = Cara 2: 2 x−5 12 x−6 (g o f)(x) = 2 x−5 12 x−6 g(f(x)) = g(2x-1) = g(2x-1) = g(x) = 2 x−5 12 x−6 (2 x−1 )−4 6(2 x −1) x−4 6x Cara 3 :f(x) = 2x -1  f (x) = -1 x+1 2 g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x)) ( x+12 )−5 = x +1−5 = x−4 6( x +1)−6 6 x x+ 1 12( −6 ) 2 2 g(x) = III. Fungsi Invers c. Definisi Jika fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA danbB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B  A ditentukan oleh: f - 1 :{(b,a)lbB dan aA}. Jika f : A  B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B  A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x)  f -1 : x = f(y) (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas) Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. f(x) = ax + b; a ≠ 0  f (x) = -1 ii. f(x) = ax+ b cx+ d ;x≠- d c x−b a ;a≠0  f (x) = -1 −dx+b cx−a iii. f(x) = acx ; a > 0  f -1(x) = alog x1/c = ;x≠ a c 1 c a log x ; c ≠ 0 x iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  f -1(x) = v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1(x)= a c ;c≠0 −b± √ b 2−4a( c−x ) 2a Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi. Contoh 8: Diketahui f: R  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1: y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5 x= y +5 2 f -1(x) = Cara 2: x +5 2 f(x) = ax + b  f (x) = -1 f(x) = 2x – 5  f (x) = -1 x−b a x +5 2 Contoh 9: Diketahui f x   2x  1 , x4 x  R, x  4 Tentukan f −1 ( x) ! Cara 1 y 2x  1 x4 y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 4y +1 y-2 x= 4x  1 f (x) = x - 2 -1 Cara 2: f(x) = f ( x )= ax+ b cx+ d 2 x+ 1 x−4  f (x) = -1  f (x) = -1 −dx+b cx−a 4x +1 x-2 Contoh 10: Jika f ( x )= 2x 4 , x ∈ R , x≠ 3 x− 4 3 f -1(k) = a  k = f(a) dan f −1 ( k )=1 Contoh 11: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! f −1 ( k )=1 . Tentukan nilai k!  k = f(1) = 2. 1 2 = =−2 3 . 1−4 −1 f(x) = acx  f -1(x) = f(x) = 5  f 2x –1 (x) = 1 c a log x 15 log x 2 Contoh 12: Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)! Cara 1: y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) 2 x – 3 =  √ y+ 5 x = 3  √ y+ 5 f – 1 (x) = 3  √ x+5 Cara 2: f(x) = ax²+bx+c  f -1(x) = −b± √ b 2−4a( c−x ) 2a f(x) = x2 – 6x + 4  f -1(x) = √ 6±√ 36−4 ( 4−x ) 36−16+ 4 x =3± =3± √ 5+ x 2 4 Contoh 13: 5 f ( x )=√ 1− x 3 +2 Diketahui , tentukan f – 1 (x) Cara 1: 5 y=√ 1− x +2 3 5 3 y – 2 = √ 1−x (y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5 1−( y−2)5 x= √ 3 1−( x−2 )5 f – 1 (x) = √ 3 Cara 2: √ a−( x−c )n m n f ( x )= √ a+bx +c m  f – 1 (x) = −b √1−( x−2)5 =3√1−( x−2)5 3 5 f ( x )=√ 1− x 3 +2  f – 1 (x) = −(−1) IV. Invers Dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut. x y=f(x) f A z=g(y ) g B C Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g -1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut. X y=f(x) f-1 z=g(y ) g-1 A B C (g  f) -1 Jadi diperoleh hubungan: (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 14: Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = 1 1 , x≠− 3 x +1 3 Cara 1: (f o g)(x) = 2( 1 3 x +1 )–3= Misalkan y = (f o g)(x) y= −9 x −1 3 x +1 y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) 2−3( 3 x+1 ) − 9 x−1 = 3 x +1 3 x +1 . Tentukan (f o g) - 1(x)! x= −( y +1) 3 y+9 -1 (f o g) (x) = − x +1 3 x +9 Cara 2: (f o g)(x) = 2( -1 (f o g) (x) = 1 3 x +1 )–3= 2−3( 3 x+1 ) − 9 x−1 = 3 x +1 3 x +1 − x−1 x +1 =− 3 x +9 3 x+ 9 Contoh 15: -1 Diketahui f (x) = 1 2 -1 x - 2, g (x) = Cara 1: -1 f (x) = 1 2 x–2 (f–1 o f)(x) =I(x)  f- 1(f(x)) = x 1 2 1 2 f(x) – 2 = x f(x) = x + 2 f(x) = 2x + 4 -1 g (x) = 4 x +5 x−2 (g– 1 o g)(x) =I(x)  g - 1(g(x)) = x 4 g( x )+5 g( x )−2 =x 4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4 x +5 x−2 dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)! 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) = −2 x−5 2 x+5 =− 4− x 4− x h(x) = (g o f)(x) h(x) = - 2( 2 x +4 )+5 4 x +13 = 4−( 2 x+ 4 ) 2x -1 h (x) = 13 2 x−4 Cara 2: h(x) = (g o f)(x)  h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x)) -1 h (x) = 1 2 . 4 x +5 x−2 -2= 4 x+5−2 ( 2 x−4 ) 4 x +5 4 x +5− 4 x+ 8 13 −2= = = 2 x− 4 2 x−4 2 x− 4 2 x− 4 Contoh 16: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1! Cara 1: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = 4 4−2 x Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y= 4 4−2 x 4y – 2xy = 4 4 , x≠0 x , carilah nilai x -2xy = 4 – 4y x= 4−4 y 2 y−2 = −2 y y (h o g o f) 2 x−2 x –1 (x) = 2 x−2 x =1 2x – 2 = x x=2 Cara 2: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = 4 4−2 x (h o g o f) – 1 (x) = a  x = (h o g o f) (a) (h o g o f) –1 (x) = 1  x = (h o g o f) (1) = 4 4 = =2 4−2. 1 2

Judul: Makalah Matematikawajib

Oleh: Ghina Nurf


Ikuti kami