Soal

Oleh Siti Sundari

10 tayangan
Bagikan artikel

Transkrip Soal

SOAL-SOAL LINGKARAN
1. Tentukan Persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1) , (5,3) dan (6,2) . Kemudian Tentukan pula pusat dan
jari" himpunan tersebut ??
Penyelesaian:
misal dengan eliminasi dan substitusi :
x² + y² + ax + by + c = 0
(3,-1)→ 3² + (-1)² + 3a – b + c = 0
9 + 1 + 3a – b + c = 0
3a – b + c = -10………………(1)
dengan cara sama
(5,3) → 5a + 3b + c = -34……(2)
(6,2) → 6a + 2b + c = -40……(3)
eliminasi c (1) dg (2)
3a – b + c = -10
5a + 3b + c = -34
------------------------ -2a – 4b = 24
-a – 2b = 12……………………(4)
(1) dg (3)
3a – b + c = -10
6a + 2b + c = -40
-------------------------- -3a – 3b = 30
-a – b = 10….………………….(5)
(4) dg (5)
-a – 2b = 12
-a – b = 10
----------------- ….-b = 2
b = -2 (substitusi pada (4) atau (5))
-a – 2(-2) = 12
a = -8
a dan b substitusi pada (1) atau (2) atau (3)
3(-8) – (-2) + c = -10
c = 12

(a, b, c) = (-8, -2, 12), persamaannya
x² + y² - 8x – 2y + 12 = 0
pusat = (-½a, -½b) = (-½(-8), -½(-2)) = (4, 1)
jari² r² = ¼a² + ¼b² - c
= ¼(-8)² + ¼(-2)² - 12
r = √5
2. Tentukan garis singgung dari titik T(1,6) pada lingkaran x 2+ y 2+2 x−19=0
Penyelesaian :
Dari soal titik T terletak diluar lingkaran sehingga dari titik T dapat dibuat dua buah garis singgung
lingkaran,yaitu dengan menarik garis dari titik singgungnya ke titik T.Misalkan titik singgungnya S1( x 0 , y 0) dan
S2 ( x a − y a )

Sebelumnya telah dibahas tentang persamaan garis kutub S1,S2 pada persamaan lingkaran x 2+ y 2+ A x + B y+C=0
yaitu :
x x 1 + y y 1+

A
B
x + x 1) + ( y + y 1 ) +C=0
(
2
2

Sehingga diperoleh :
2
0
1 x+6 y + ( x+1 ) + ( y +6 )−19=0
2
2
x +6 y + x+1−19=0
2 x+6 y −18=0

x=9−3 y

Karena garis x=9−3 y memotong lingkaran sehingga kita substitusikan pada persamaan lingkaran
2

2

x + y +2 x−19=0

Sehingga didapat :
2

2

(9−3 y) + y +2 ( 9−3 y )−19=0
2

2

81−54 y+ 9 y + y +18−6 y−19=0
2

10 y −60 y +80=0 dikali

1
10

y 2−6 y +8=0

( y−2 )( y−4 )=0
Didapat : y=2 dan y=4
Untuk mendapatkan titik singgungnya substitusikan y=2 dan y=4 pada persamaan garis kutubnya, yaitu

x=9−3 y . Sehingga diperoleh :

Untuk y=2

Untuk y=4
x=9−3 ( 4 )

x=9−3 ( 2 )
x=9−6
x=3

x=9−12

x=−3

S2(-3,4)
S1(3,2)
Untuk mendapatkan persamaan garis singgung yang melalui titik T(1,6) dan S1(3,2) atau titik T(1,6) dan S2(-3,4)
gunakan rumus :
y− y 1 x−x1
=
y 2− y 1 x 2−x 1

Persamaan garis yang melalui titik T(1,6) dan S1(3,2)
TS1 :
y−2 x −3
=
6−2 1−3
y−2 x −3
=
4
−2
−2 ( y −2 )=4 ( x−3 )
4 x−12+ 2 y −4=0
2 x+ y −8=0

Persamaan garis yang melalui titik T(1,6) dan S2(-3,4)
TS2 :
y−4 x −(−3)
=
6−4 1−(−3)
y−4 x +3
=
2
4
4 ( y −4 )=2(x+3)
4 y−16=2 x +6
x−2 y +11=0

Jadi persamaan garis singgung di titik T(1,6) pada lingkaran x 2+ y 2+2 x−19=0 adalah x−2 y +11=0 dan
2 x+ y −8=0

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik T(1,-1) dan menyinggung garis 5 x−12 y+ 9=0
Penyelesaian :
Cari jarak titik T terhadap garis 5 x−12 y+ 9=0 ,dengan menggunakan rumus jarak yaitu
d=

| A x 1+ B y 1 +C|

√ A 2+ B2

d=

|5 ( 1) −12 ( 1 )+9|

√ 52 +122

d=

|5+12+ 9|

√ 25+144

d=

|26|

√ 169

d=

26
13

d=2; Jadi jari – jari lingkaran tersebut adalah 2.

Kemudian substitusikan ke persamaan ( x−x 1)2 +( y− y 1)2=r 2.
Dengan ( x 1 , y 1 ) adalah pusat lingkaran , sehingga :
2

2

(x−1) +( y +1) =2
2

2

2

x −2 x+1+ y +2 y +1=4
2

2

x + y −2 x +2 y +2=4

x 2+ y 2−2 x +2 y +2−4=0
2

2

x + y −2 x +2 y−2=0

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1,-1) dan menyinggung garis 5 x−2 y+ 9=0 adalah
2

2

x + y −2 x +2 y−2=0.

4. Tentukan kutubnya garis 3 x−5 y−1=0 terhadap lingkaran x 2+ y 2−x+ y−1=0
Penyelesaian :
Misal titik kutubnya garis 3 x−5 y−1=0 terhadap lingkaran adalah T((x ¿ ¿ 1 , y 1 )¿ .Persamaan garis kutubnya T
(x ¿ ¿ 1 , y 1 ), ¿terhadap lingkaran L¿ x 2+ y 2−x+ y−1=0 adalah :
x1 x + y1 y +

A
B
(x+ x¿¿ 1)+ ( y + y 1 ) +C=0 ¿
2
2

1
1
x 1 x + y 1 y − ( x + x 1 )+ ( y + y 1 )−1=0
2
2

1
1
1
1
( x ¿ ¿ 1− )x +( y ¿ ¿1+ ) y− x 1+ y 1−1=0 ¿ ¿
2
2
2
2

Persamaan tersebut identik dengan persamaan 3 x−5 y−1=0 maka berlaku
x1−

1
2

3

1 −1
1
x 1 + y 1−1
2
2
2
=
=
−5
−1
y1+

Persamaan tersebut terdiri dari :
x1−

1
2

3

1
1 −1 1
x 1−
x y −1
2
2
2 12 1
=
dan
=
−5
3
−1

2x −1
1

6

y1 +

=

2 y +1
1

−10

dan

2 x −1 −x 1+ y 1−2
=
6
−2
1

−20 x 1+10=12 y1 +6−4 x 1+2=−6 x 1+6 y1 −12
−20 x 1+12 y 1−4=02 x 1−6 y 1 +14=0

5 x 1+3 y 1−1=0 … … … ( 1 ) x 1−3 y 1 +7=0 … … …(2)

5 x 1+3 y 1−1=0 … … … ( 1 )

x 1−3 y 1+ 7=0 … … … ( 2 )+ ¿
6 x 1+ 6=0

x 1=−1
5 x 1+3 y 1−1=0

5 (−1 ) +3 y 1−1=0
3 y 1=6

y 1=2

Jadi titik kutubnya adalah T(-1,2).

Judul: Soal

Oleh: Siti Sundari


Ikuti kami